2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

复数的共轭复数等于（   ）

            

2. 难度：简单

某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（   ）

圆柱    圆锥     四面体     三棱柱

3. 难度：简单

等差数列的前项和，若，则(    )

              

4. 难度：简单

若函数的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（    ）

5. 难度：简单

阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（    ）

              

6. 难度：简单

直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（     ）

充分而不必要条件        必要而不充分条件

充分必要条件            既不充分又不必要条件

7. 难度：简单

已知函数则下列结论正确的是（   ）

A.是偶函数            B.是增函数

C.是周期函数          D.的值域为

8. 难度：简单

在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（    ）

A.      B.

C.     D.

9. 难度：简单

设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（    ）

A.     B.    C.    D.

10. 难度：简单

用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是

A.  

B.

C.   

D.

二、填空题

11. 难度：简单

若变量满足约束条件则的最小值为________

12. 难度：简单

在中，,则的面积等于_________

13. 难度：简单

要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）

14. 难度：简单

如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.

15. 难度：简单

若集合且下列四个关系：

①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_________.

三、解答题

16. 难度：中等

（本小题满分13分）

已知函数.

（1）若，且，求的值；

（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.

17. 难度：中等

（本小题满分12分）

在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.

（1）求证： ；

（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.

18. 难度：困难

（本小题满分13分）

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求

①顾客所获的奖励额为60元的概率

②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;

（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

19. 难度：中等

（本小题满分13分）

已知双曲线的两条渐近线分别为.

（1）求双曲线的离心率；

（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.

20. 难度：困难

（本小题满分14分）

已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处

的切线斜率为-1.

（I）求的值及函数的极值；

（II）证明：当时，；

（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.

21. 难度：中等

（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵的逆矩阵.

（I）求矩阵；

（II）求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.

22. 难度：简单

（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程

已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为

，（为常数）.

（I）求直线和圆的普通方程；

（II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.

23. 难度：压轴

（本小题满分7分）选修4—5：不等式选将

已知定义在R上的函数的最小值为.

（I）求的值；

（II）若为正实数，且，求证：.