2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知全集，则集合（      ）

A．   B．   C．   D．

2. 难度：简单

设复数z满足，则（     ）

A．   B．   C．    D．

3. 难度：简单

已知，，则（     ）

A．   B．   C．    D．

4. 难度：中等

已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（    ）

A．若则      B．若，，则

C．若，，则    D．若，，则

5. 难度：简单

设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（     ）

A．   B．  C．  D．

6. 难度：中等

6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（    ）

A．144    B．120    C．72     D．24

7. 难度：中等

某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．    B．   C．   D．

8. 难度：中等

设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（   ）

A．    B．   C．    D．

9. 难度：简单

将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ）

A．在区间上单调递减 

B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减 

D．在区间上单调递增

10. 难度：困难

已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（     ）

A．    B．    C．    D．

11. 难度：中等

当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（     ）

A．    B．    C．    D．

12. 难度：困难

已知定义在上的函数满足：

①；

②对所有，且，有.

若对所有，，则k的最小值为（     ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题

13. 难度：中等

执行右侧的程序框图，若输入，则输出          .

14. 难度：中等

正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是          .

15. 难度：中等

已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则          .

16. 难度：中等

对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为          .

三、解答题

17. 难度：中等

在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：

（1）a和c的值；

（2）的值.

18. 难度：中等

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；

（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.

19. 难度：困难

如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

20. 难度：中等

圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.

（1）求的方程；

（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.

21. 难度：困难

已知函数，.

证明：（1）存在唯一，使；

（2）存在唯一，使，且对（1）中的.

22. 难度：中等

如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

（1）求证：AB为圆的直径；

（2）若AC=BD，求证：AB=ED.

23. 难度：中等

将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

（1）写出C的参数方程；

（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.

24. 难度：中等

设函数，，记的解集为M，的解集为N.

（1）求M；

（2）当时，证明：.