2013-2014学年上海市十三校高三年级第二次联考理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

方程的解是      ．

2. 难度：简单

已知函数，则      ．

3. 难度：简单

若实数满足，则的最小值为      

4. 难度：简单

设（i为虚数单位），则     ．

5. 难度：简单

已知则的值为    

6. 难度：简单

除以5的余数是      

7. 难度：简单

在棱长为的正方体中，点和分别是矩形和的中心，则过点、、的平面截正方体的截面面积为______

8. 难度：中等

等差数列的前项和为，则       

9. 难度：中等

某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为级需要的天数为，

等级	等级图标	需要天数	等级	等级图标	需要天数
1		5	7		77
2		12	8		96
3		21	12		192
4		32	16		320
5		45	32		1152
6		60	48		2496

则等级为级需要的天数__________

10. 难度：简单

若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则的取值范围为      

11. 难度：中等

已知直线交极轴于点，过极点作的垂线，垂足为，现将线段绕极点旋转，则在旋转过程中线段所扫过的面积为________

12. 难度：中等

给定平面上四点满足，则面积的最大值为     

13. 难度：中等

对于非空实数集，定义．设非空实数集．现给出以下命题：

（1）对于任意给定符合题设条件的集合必有

（2）对于任意给定符合题设条件的集合必有；

（3）对于任意给定符合题设条件的集合必有；

（4）对于任意给定符合题设条件的集合必存在常数，使得对任意的，恒有．

以上命题正确的是            

14. 难度：中等

已知当时，有，根据以上信息，若对任意,都有则    

二、选择题

15. 难度：中等

集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（  ）

（A）   （B）   （C）     （D）

16. 难度：中等

函数则函数是（   ）

（A）奇函数但不是偶函数            （B）偶函数但不是奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数          （D）既不是奇函数又不是偶函数

17. 难度：简单

若,且．则下列结论正确的是(    )

（A）     （B）  （C）   （D）

18. 难度：中等

设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（   ）

（A）圆或椭圆  （B）抛物线或双曲线   （C）椭圆或双曲线   （D）以上均有可能

三、解答题

19. 难度：困难

如图,设是一个高为的四棱锥,底面是边长为的正方形,顶点在底面上的射影是正方形的中心．是棱的中点．试求直线与平面所成角的大小．

20. 难度：困难

对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．

（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；

（2）设是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

21. 难度：中等

某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．

（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；

（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布律和数学期望．

22. 难度：压轴

已知抛物线．

(1)若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标；

(2)抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率；

(3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为试求满足成等差数列的充要条件．

23. 难度：压轴

设等差数列的公差为，且．若设是从开始的前项数列的和，即，，如此下去，其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和，即．

(1)若数列,试找出一组满足条件的,使得： ；

(2)试证明对于数列，一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数；

(3)若等差数列中．试探索该数列中是否存在无穷整数数列

,使得为等比数列,如存在,就求出数列；如不存在，则说明理由．