2013-2014学年上海市徐汇、金山、松江区高三下学期学习能力诊断理数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则____________．

2. 难度：简单

直线的倾斜角的大小是____________．

3. 难度：简单

函数的单调递减区间是____________．

4. 难度：简单

函数的值域是____________．

5. 难度：简单

设复数满足，则＝____________．

6. 难度：简单

某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________名学生.

7. 难度：中等

函数的最小正周期=____________．

8. 难度：简单

已知函数，则____________．

9. 难度：简单

如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是____________．

10. 难度：中等

若的展开式中的系数为，

则=____________．

11. 难度：简单

在极坐标系中，定点A点B在直线上运动，则点A和点B间的最短距离为____________．

12. 难度：简单

如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数， 则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表示)

13. 难度：困难

如图所示，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量为实数），则的最大值为____________．

14. 难度：中等

对于集合（，定义集合，记集合中的元素个数为．若是公差大于零的等差数列，则=____________．

二、选择题

15. 难度：简单

已知直线平面，直线平面，给出下列命题,其中正确的是 (   )

①            ②

③            ④

A．②④      B. ②③④     C. ①③       D. ①②③

16. 难度：中等

在中，角的对边分别是，且，则等于（   ）

A．            B．           C．            D．

17. 难度：简单

函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下

不可能成为公比的数是（   ）

A．             B．              C．            D．

18. 难度：中等

设圆O₁和圆O₂是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（   ）

A．① ③           B．② ③             C．① ②           D．① ② ③

三、解答题

19. 难度：中等

如图，△中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点、，与交于点），将△绕直线旋转一周得到一个旋转体．

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．

20. 难度：中等

如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知，，（千米），（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．

（即从B点出发到达C点）

21. 难度：困难

已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆交于、两点，试问，是否存在轴上的点，使得对任意的，为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

22. 难度：困难

定义：对于函数，若存在非零常数，使函数对于定义域内的任意实数，都有，则称函数是广义周期函数，其中称为函数的广义周期，称为周距．

（1）证明函数是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距的值；

（2）试求一个函数，使（为常数，）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期和周距；

（3）设函数是周期的周期函数，当函数在上的值域为时，求在上的最大值和最小值．

23. 难度：困难

一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．

求第2行和第3行的通项公式和；

证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于（）的表达式；

（3）若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有．