2013-2014学年北京市东城区高三3月质量调研文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设全集，设集合，，则（  ）

A.                B.               C.                D.

2. 难度：简单

在某次测量中得到的样本数据如下：.若样本数据恰好是样本数据都加后所得数据，则、两样本的下列数字特征对应相同的是（    ）

A.众数                    B.平均数                    C.中位数                  D.标准差

3. 难度：简单

已知是虚数单位，若，则的共轭复数为（    ）

A.                 B.                   C.                  D.

4. 难度：简单

设是直线，、是两个不同的平面，则（   ）

A.若，，则                                B.若，，则

C.若，，则                             D.若，，则

5. 难度：简单

函数的最大值与最小值之差为（    ）

A.                   B.                     C.                     D.

6. 难度：简单

“”是“函数在区间内单调递增”的（    ）

A.充分不必要条件                                        B.必要不充分条件

C.充分必要条件                                          D.既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

已知双曲线的离心率为.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为（    ）

A.              B.                C.               D.

8. 难度：中等

已知，，且.现给出如下结论：

①；②；③；④.

其中正确结论的序号是（   ）

A.①③                    B.①④                    C.②③                   D.②④

二、填空题

9. 难度：简单

已知变量、满足条件，则的最大值是______.

10. 难度：简单

经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是           .

11. 难度：简单

曲线在点处的切线方程为               .

12. 难度：简单

在数列中，，，则         .

13. 难度：简单

已知平面向量，若，则_____________.

14. 难度：中等

定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离，已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数_______.

三、解答题

15. 难度：中等

在中，内角、、的对边分别为、、，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

16. 难度：中等

如图，在三棱锥中，是等边三角形，.

（1）证明:：；

（2）证明：；

（3）若，且平面平面，求三棱锥体积.

17. 难度：中等

一汽车厂生产、、三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表（单位：辆）

	轿车	轿车	轿车
舒适型
标准型

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆.

（1）求的值；

（2）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为的样本.将该样本看成一个总体，从中任取辆，求至少有辆舒适型轿车的概率；

（3）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取辆，经检测它们的得分如下：、、、、、、、.把这辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值

不超过的概率.

18. 难度：中等

设函数.

（1）设，，，证明：在区间内存在唯一的零点；

（2）设，若对任意、，有，求的取值范围.

19. 难度：困难

已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，点、分别在椭圆和上，，求直线的方程.

20. 难度：困难

对于项数为的有穷数列数集，记，即为、、、中的最大值，并称数列是的控制数列.如、、、、的控制数列是、、、、.

（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为、、、、，写出所有的；

（2）设是的控制数列，满足（为常数，、、、）.求证：.