2013-2014学年北京市东城区高三下学期综合练习二文科试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合，集合，则=（   ）

（A）                        （B）

（C）                    （D）

2. 难度：简单

在复平面内，复数对应的点位于（   ）

（A）第一象限                       （B）第二象限 

（C）第三象限                       （D）第四象限

3. 难度：简单

已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的值为（   ）

（A）或            （B）或

（C）或             （D）或

4. 难度：中等

设等差数列的前项和为，若，则的值是（   ）

（A）           （B）           （C）           （D）

5. 难度：简单

已知，那么的值是（    ）

（A）      （B）        （C）        （D）

6. 难度：困难

已知函数在[0，+∞]上是增函数，，若则的取值范围是（   ）

（A）                      （B）

（C）                     （D）

7. 难度：简单

已知点，，，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是（    ）

（A）                      （B）

（C）                  （D）

8. 难度：困难

对任意实数，定义运算“⊙”：设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是（    ）

（A）               （B）     

（C）             （D）

二、填空题

9. 难度：简单

函数的定义域是         ．

10. 难度：简单

已知平面向量，，且∥，则         ．

11. 难度：简单

在区间上随机取两个实数，,则事件“”的概率为_________．

12. 难度：中等

已知数列的前项和为,且对任意,有，则          ；          ．

13. 难度：中等

过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是            ．

14. 难度：压轴

在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），，

①若，则满足条件的点的个数为________；

②若满足的点的个数为，则的取值范围是________．

三、解答题

15. 难度：简单

已知函数.

（1）求的值；

（2）当时，求函数的最大值和最小值．

16. 难度：中等

汽车的碳排放量比较大，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）．

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为．

（1）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率是多少？

（2）求表中的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性．

17. 难度：压轴

如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：；

（3）求三棱锥的体积.

18. 难度：困难

已知，函数，．

（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求，的值；

（Ⅱ）设，若对任意的，且，都有，求的取值范围．

19. 难度：压轴

已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆方程；

（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，求△面积的最大值.

20. 难度：困难

设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．

（1）求，；

（2）若，求证：；

（3）求证：存在，使得．