2013-2014学年北京市东城区高三下学期综合练习二理科试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合，集合，则=(    )

（A）                         （B）

（C）                    （D）

2. 难度：简单

在复平面内，复数对应的点位于(    )

（A）第一象限                       （B）第二象限 

（C）第三象限                       （D）第四象限

3. 难度：简单

已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的值为（    ）

（A）或                （B）或

（C）或                 （D）或

4. 难度：中等

如果实数，满足条件   则的最大值为(    )

（A）                      （B）

（C）                       （D）

5. 难度：简单

设为等差数列的前项和，若，公差，，则（  ）

（A）                  （B）

（C）                 （D）

6. 难度：简单

6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（  ）

（A）                      （B）       

（C）                      （D）

7. 难度：中等

若直线（为参数）被圆（为参数）所截的弦长为，则的值为(    )

（A） 或                     （B） 或

（C） 或                   （D） 或

8. 难度：简单

对任意实数，定义运算“⊙”：设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是(    )

（A）                    （B）

（C）                （D）

二、填空题

9. 难度：中等

已知，那么       ．

10. 难度：中等

已知平面向量，，若，，，则           ；向量，夹角的大小为           ．

11. 难度：简单

在区间上随机取两个实数，,则事件“”的概率为_________．

12. 难度：中等

如图所示，与圆相切于，直线交圆于，两点，，垂足为，且是的中点，若，则       ．

13. 难度：中等

若直线与抛物线相交于，两点，且，两点在抛物线的准线上的射影分别是，，若，则的值是            ．

14. 难度：困难

在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），，

①若，则满足条件的点的个数为________；

②若满足的点的个数为，则的取值范围是________．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数.

（1）求的值；

（2）当时，求函数的最大值和最小值．

16. 难度：困难

“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了名年龄段在，，，的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.

（1）求随机抽取的市民中年龄段在的人数；

（2）从不小于岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取人，求年龄段抽取的人数；

（3）从按（2）中方式得到的人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记为年龄在年龄段的人数，求的分布列及数学期望．

17. 难度：中等

如图，四棱锥中，平面平面,// ,,

,且，.

（1）求证：平面；

（2）求和平面所成角的正弦值；

（3）在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由.

18. 难度：压轴

已知，函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）求证：对于任意的，都有.

19. 难度：困难

已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆方程；

（2）斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为直线上的一点，若△为等边三角形，求直线的方程.

20. 难度：困难

设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．

（1）求，；

（2）若，求证：；

（3）当时，求证：存在，使得．