2013-2014学年北京市东城区高三下学期综合练习（一）理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，则（   ）．

A．      B．或

C．         D．

2. 难度：简单

复数（   ）．

A．            B．

C．            D．

3. 难度：简单

为了得到函数的图象，只需把函数的图象（   ）．

A．向左平移个单位长度      B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度      D．向右平移个单位长度

4. 难度：中等

设等差数列的前项和为，若，，则（   ）．

A．27        B．36        C．42          D．63

5. 难度：中等

在极坐标系中，点到直线的距离等于（   ）．

A．      B．      C．        D．2

6. 难度：中等

如图，在中，，，是的中点，则（   ）．

A．3      B．4      C．5      D．不能确定

7. 难度：困难

若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（   ）．

A．2      B．      C．        D．

8. 难度：困难

已知符号函数则函数的零点个数为（   ）．

A．1      B．2          C．3        D．4

二、填空题

9. 难度：简单

的二项展开式中常数项为________．（用数字作答）

10. 难度：简单

如图，是圆的直径，延长至，使，且，是圆的切线，切点为，连接，则________，________．

11. 难度：简单

设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则的概率为________．

三、选择题

12. 难度：简单

已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为______，不等式的解集为________．

四、填空题

13. 难度：简单

某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）

14. 难度：中等

如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．

五、解答题

15. 难度：简单

在中，．

（1）求角的值；

（2）如果，求面积的最大值．

16. 难度：中等

某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人．

（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；

（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是中点，为上一点．

（1）求证：平面；

（2）当为何值时，二面角为．

18. 难度：中等

已知函数，．

（1）当时，求的单调区间；

（2）已知点和函数图象上动点，对任意，直线倾斜角都是钝角，求的取值范围．

19. 难度：困难

已知椭圆过点和点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程．

20. 难度：压轴

已知集合，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为子集，记子集的个数为．

（1）当时，写出所有子集；

（2）求；

（3）记，求证：