2013-2014学年北京市丰台区高三一模理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合,,则等于(   ).

（A）          （B）

（C）          （D）

2. 难度：中等

在极坐标系中，点A（）到直线的距离是(   ).

（A）1          （B）2         （C）3             （D）4

3. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的x值为(   ).

（A）            （B）          （C）             （D）

4. 难度：简单

已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立

的是(   ).

（A）                    （B） 

（C）                  （D）

5. 难度：简单

“”是 “”的(   ).

（A）充分而不必要条件               （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件                   （D）既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.

若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是(   ).

（A），乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛

（B），甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛

（C），甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛

（D），乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛

7. 难度：中等

棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，

那么该几何体的体积是(   ).

（A）          （B）4     （C）          （D）3

8. 难度：简单

如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2014

的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年到2999年中“七巧年”共有(    )

（A）24个        （B）21个        （C）19个         （D）18个

二、填空题

9. 难度：简单

已知，则的值为_______________.

10. 难度：简单

已知等比数列中,，，则=.

11. 难度：中等

如图,已知圆的两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF:FB:BE=4：2：1.若CE与圆相切,则线段CE的长为．

12. 难度：简单

已知点F,B分别为双曲线C:的焦点和虚轴端点，若线段FB的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率是___________.

13. 难度：中等

已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，，(),若∥，则=______________.

14. 难度：中等

设不等式组表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N.在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是_________.

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

16. 难度：中等

年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：

健康指数	2	1	0	-1
60岁至79岁的人数	250	260	65	25
80岁及以上的人数	20	45	20	15

其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，-1表示“生活不能自理”。

（1）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率。

（2）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”.

请写出该地区老龄人健康指数X分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”.

17. 难度：困难

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱AB上的动点.

（1）求证：DA₁⊥ED₁；

（2）若直线DA₁与平面CED₁成角为45^o，求的值；

（3）写出点E到直线D₁C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）.

18. 难度：压轴

已知曲线.

（1）求曲线在点（）处的切线方程；

（2）若存在使得，求的取值范围.

19. 难度：压轴

如图，已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E于C,D两点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）求证：点M在直线上；

（3）是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；

若不存在，说明理由.

20. 难度：中等

从数列中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列.

（1）写出数列的一个是等比数列的子列；

（2）若是无穷等比数列，首项，公比且，则数列是否存在一个子列

为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.