2013-2014学年北京市房山区4月高三一模理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

（A）            （B）

（C）          （D）

2. 难度：简单

已知等比数列中，， ，则公比（    ）

（A）           （B）

（C）          （D）

3. 难度：中等

参数方程 (为参数)化为普通方程是（    ）

（A）

（B）

（C）

（D）

4. 难度：简单

当时，双曲线的离心率的取值范围是（    ）

（A）            （B）

（C）             （D）

5. 难度：中等

某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为（    ）

（A）            （B）

（C）            （D）

6. 难度：简单

在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有名志愿者要分配到个不同的社区参加服务，每个社区分配名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有（    ）

（A）种（B）种

（C）种（D）种

7. 难度：简单

已知不等式组 表示的平面区域的面积等于，则的值为（    ）

﹙A﹚          （B）

﹙C﹚           （D）

8. 难度：简单

如图，正方体中，点为线段上一动点，点为底面内（含边界）一动点，为的中点，点构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（    ）

（A）棱柱             （B）棱锥

（C）棱台             （D）球

二、填空题

9. 难度：简单

在复平面内，复数对应的点的坐标为             .

10. 难度：简单

在△中，，，，则             .

11. 难度：简单

如图，为圆上一点，过点的切线交的延长线于点，，，

，则             ；圆的直径为           ．

12. 难度：简单

如图，在梯形中，，，，点是边上一动点，则的最大值为              ．

13. 难度：中等

已知函数若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是              ．

14. 难度：中等

对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件“若，则” 且，给出下列命题：

①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有；

②对于任意给定符合题设条件的集合，必有；

③存在符合题设条件的集合，使得；

④存在符合题设条件的集合，使得．

其中所有正确命题的序号是              ．

15. 难度：中等

已知函数．

（1）求的最小正周期和单调递增区间；

（2）求在区间上的取值范围．

三、解答题

16. 难度：简单

为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：

新能源汽车补贴标准
车辆类型	续驶里程（公里）
纯电动乘用车	万元/辆	万元/辆	万元/辆

某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了辆纯电动乘用车，根据其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：

分组	频数	频率
合计

（1）求，，，的值；

（2）若从这辆纯电动乘用车中任选辆，求选到的辆车续驶里程都不低于公里的概率；

（3）若以频率作为概率，设为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求的分布列和数学期望．

17. 难度：困难

如图，三棱柱中，平面，，，．以

，为邻边作平行四边形，连接和．

（1）求证：∥平面 ；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在，求出的长；若

不存在，说明理由．

18. 难度：困难

已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示．

（1）求的极大值点；

（2）求的值；

（3）若，求在区间上的最小值．

19. 难度：困难

已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点到的距离等于焦距.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，是否存在直线，使得△与△的面积比值为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

20. 难度：困难

在数列中，若（，，为常数），则称为数列．

（1）若数列是数列，，，写出所有满足条件的数列的前项；

（2）证明：一个等比数列为数列的充要条件是公比为或；

（3）若数列满足，，，设数列的前项和为．是否存在

正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；

若不存在，说明理由．