2013-2014学年北京市昌平区高三年级第二次统一练习数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合, , 则（     ）

(A)   (B)   (C)  (D)

2. 难度：简单

“”是“”的（     ）

（A）充分不必要条件   （B）必要不充分条件

（C）充要条件         （D）既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

设，则（     ）

（A）        （B）   （C）   （D）

4. 难度：中等

的展开式中的系数是     （     ）

（A）        （B）         （C）        （D）

5. 难度：简单

在中，，，则等于（     ）

  （A）        （B）      （C）或       （D）或

6. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（     ）

（A）    （B）         （C）   （D）

二、填空题

7. 难度：简单

如图，是半圆的直径，是弧的三等分点，是线段的三等分点，若，则的值是（     ）

（A）      （B）       （C）      （D）

三、选择题

8. 难度：简单

已知，若函数只有一个零点，则的取值范围是（     ）

（A）    （B）

（C）               （D）

四、填空题

9. 难度：简单

若数列满足：，则_______ .

10. 难度：简单

圆：的圆心到直线的距离为_________ .

11. 难度：简单

如图，已知中，弦,为直径. 过点作的切线，交的延长线于点，.则____  .

12. 难度：简单

已知抛物线的焦点为，则________，

过点向其准线作垂线，记与抛物线的交点为，则_____.

13. 难度：简单

选派5名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派方法共有_____种 .

14. 难度：中等

已知正方体的棱长为2，在四边形内随机取一点,则的概率为_______ ，的概率为_______.

五、解答题

15. 难度：简单

已知函数.

（1）求的值；

（2）当时，求的取值范围.

16. 难度：困难

某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题,按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成,道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.

（1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望；

（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？

17. 难度：困难

已知正四棱柱中，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

18. 难度：困难

已知函数,.

（1）求的单调区间；

（2）当时，若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

19. 难度：困难

已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为.

求证: 为定值.

20. 难度：困难

已知数列的各项均为正数，记,,

.

（1）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.

（2）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.