2013-2014学年北京市朝阳二模理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，集合，则(     )

（A）      （B）   （C）   （D）

2. 难度：简单

如果，那么下列不等式一定成立的是(     )

（A）      （B）

（C）              （D）

3. 难度：简单

执行如图所示的程序框图．若输出的结果为，则输入的正整数的可能取值的集合是(     )

（A）   （B） （C）      （D）

4. 难度：简单

已知函数的部分图象如图所示，则(     )

（A）            （B）           （C）               （D）

5. 难度：简单

已知命题：复数在复平面内所对应的点位于第四象限；命题：，，则下列命题中为真命题的是(     )

（A）    （B）      （C）   （D） 

6. 难度：简单

若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线离心

率的取值范围是(     )

（A）            （B）          （C）       （D）

7. 难度：简单

某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．

	煤（吨）	电（千度）	纯利润（万元）
箱甲产品
箱乙产品

若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过吨，电不超过千度，则可获得的最大纯利润和是(     )

（A）万元       （B）万元      （C）万元      （D）万元

8. 难度：简单

如图放置的边长为的正△沿边长为的正方形的各边内侧逆时针方向滚动．当△沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点的轨迹长度是(     )

（A）           （B）          （C）            （D）

二、填空题

9. 难度：简单

已知平面向量，满足，，与的夹角为，则____．

10. 难度：简单

的展开式中项的系数为___．（用数字表示）

11. 难度：简单

如图，为圆的直径，,过圆上一点作圆的切线，交的延长线于点，过点作于点，若是中点，则=_____．

12. 难度：中等

由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是     ；表面积是    ．

13. 难度：简单

已知数列的前项和为，且满足，则         ；

数列的前项和为           ．

14. 难度：困难

若存在正实数，对于任意，都有，则称函数在 上是有

界函数．下列函数①；   ②；   ③；   ④，

其中“在上是有界函数”的序号为           ．

三、解答题

15. 难度：简单

在△中，角，，的对边分别是，，，且，，△的面积为．

（Ⅰ）求边的长；

（Ⅱ）求的值．

16. 难度：中等

某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段，，，

，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计

从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；

（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量的分布列和数学期望．

17. 难度：困难

如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，分别为，中点，．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．

18. 难度：困难

已知函数，．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围．

19. 难度：压轴

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在与椭圆交于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

20. 难度：压轴

已知，是函数的两个零点，其中常数，，设．

（Ⅰ）用，表示，；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求证：对任意的．