2013-2014学年北京市朝阳区高三第一次综合练习文科数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：困难

在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知,.

（1）求证：平面；

（2）求证：∥平面；

（3）设点在内（含边界）,且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值.

2. 难度：困难

设函数，，，记.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）当时，若函数没有零点，求的取值范围.

3. 难度：中等

已知椭圆经过点，一个焦点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

4. 难度：困难

已知是公差不等于0的等差数列，是等比数列，且.

（1）若,比较与的大小关系；

（2）若.（ⅰ）判断是否为数列中的某一项，并请说明理由；

（ⅱ）若是数列中的某一项，写出正整数的集合（不必说明理由）.

二、选择题

5. 难度：中等

已知集合,,则（   ）

（A）      （B）     （C）      （D）

6. 难度：简单

已知为虚数单位,复数的值是（   ）

（A）        （B）       （C）      （D）

7. 难度：中等

若满足约束条件则函数的最大值是（   ）

（A）      （B）      （C）     （D）

8. 难度：简单

在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次．设命题是“甲落地站稳”,是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（   ）

（A）     （B） （C）     （D）

9. 难度：中等

执行如右图所示的程序框图，则输出的值是（     ）

（A）10      （B）17     （C）26     （D）28

10. 难度：困难

函数的图象大致为（   ）

11. 难度：中等

已知和是平面内两个单位向量，它们的夹角为，则与的夹角是（   ）

（A）         （B）      （C）       （D）

12. 难度：中等

如图，梯形中，,,, ,将沿对角线折起．设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题：

①；②三棱锥的体积为；③平面；④平面平面.

其中正确命题的序号是（   ）

（A）①②       （B）③④       （C）①③       （D）②④

三、填空题

13. 难度：简单

抛物线的准线方程是   .

14. 难度：简单

在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高 分.

15. 难度：中等

在中，分别是角的对边．已知,,，则   ；   .

16. 难度：中等

一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为  ；表面积为 ．

17. 难度：中等

已知直线与曲线交于不同的两点，若，则实数的取值范围是  .

18. 难度：中等

将1，2，3， ，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第  张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是  ．

四、解答题

19. 难度：中等

已知函数.

（1）求的值及函数的单调递增区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值．

20. 难度：简单

某单位从一所学校招收某类特殊人才．对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

	一般	良好	优秀
一般
良好
优秀

例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是人．由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为．

（1）求，的值；

（2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．