2013-2014学年北京市朝阳区高三第一次综合练习理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

复数在复平面内对应的点位于 （   ）

（A）第一象限      （B）第二象限      （C）第三象限     （D）第四象限

2. 难度：中等

已知集合，集合，则（   ）

（A）              （B）

（C）   （D）

3. 难度：简单

已知平面向量，满足，，则与的夹角为（   ）

（A）      （B）     （C）      （D）

4. 难度：中等

如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域的概率为（   ）

（A）    （B）     （C）    （D）

5. 难度：中等

在中，，，则“”是“”的（   ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件       （D）既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

执行如图所示的程序框图,输出的S值为（   ）

（A） （B） （C） （D）

7. 难度：中等

已知函数．下列命题：（   ）

①函数的图象关于原点对称； ②函数是周期函数；

③当时,函数取最大值；④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是

（A）①③      （B）②③       （C）①④       （D）②④

8. 难度：中等

直线与圆交于不同的两点，，且，其中是坐标原点，则实数的取值范围是（   ）

（A）      （B）

（C）                         （D）

二、填空题

9. 难度：简单

在各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的前4项和为    ．

10. 难度：简单

在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段长度的最小值是  ．

11. 难度：简单

某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为  ；表面积为  ．

12. 难度：简单

双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则  ；此双曲线的离心率为  ．

13. 难度：简单

有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为    ．（用数字作答）

14. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面．底面为梯形，，∥,，．若点是线段上的动点，则满足的点的个数是  ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数，．

（1）求的值及函数的最小正周期；

（2）求函数在上的单调减区间．

16. 难度：中等

某单位从一所学校招收某类特殊人才．对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人．由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．

（1）求，的值；

（2）从参加测试的位学生中任意抽取位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；

（3）从参加测试的位学生中任意抽取位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．

17. 难度：困难

如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．为等腰直角三角形，且． ，分别为底边和侧棱的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的余弦值．

18. 难度：困难

已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在区间的最小值为，求的值．

19. 难度：困难

已知椭圆经过点，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点．直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

20. 难度：中等

从中这个数中取（，）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为．

（1）当时，写出所有可能的递增等差数列及的值；

（2）求；

（3）求证：．