2013-2014学年北京市海淀区高三下学期期末练习（二模）理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

的值为（    ）

A．     B．     C．      D．

2. 难度：简单

已知命题“，有成立”，则为（    ）

A.，有成立    B.，有成立

C.，有成立    D.，有成立

3. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输出的为4，则输入的应为（    ）

A.2      B.16     C.2或8     D.2或16

4. 难度：简单

在极坐标系中，圆的圆心到极轴的距离为（    ）

A．      B.     C.     D.

5. 难度：中等

已知是不等式组表示的平面区域内的一点，，为坐标原点，则的最大值（    ）

A.2      B.3      C.5       D.6

6. 难度：中等

一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面32m（即长），巨轮的半径为30m，m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为m，则=（    ）

A.          B.

C.           D.

7. 难度：中等

已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8. 难度：简单

已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则满足与平面平行的直线有（    ）

A.0条         B.1条        C.2条        D.无数条

二、解答题

9. 难度：简单

满足不等式的的取值范围是________.

三、填空题

10. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为________.

11. 难度：中等

已知的展开式中的系数是10，则实数的值是          

12. 难度：中等

已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为______.

13. 难度：简单

已知是曲线的两条互相平行的切线，则与的距离的最大值为_____.

14. 难度：简单

已知集合，是集合的非空子集，把集合中的各元素之和记作.

①满足的集合的个数为_____；②的所有不同取值的个数为_____.{本题第一空3分，第二空2分}

四、解答题

15. 难度：中等

在锐角中，且.

（1）求的大小；

（2）若，求的值.

16. 难度：中等

如图，在三棱柱中，底面，，，分别是棱，的中点，为棱上的一点，且//平面.

（1）求的值；

（2）求证：；

（3）求二面角的余弦值.

17. 难度：中等

某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：

车尾号	0和5	1和6	2和7	3和8	4和9
限行日	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五

现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立.

（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；

（2）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E(X).

18. 难度：中等

已知函数.

（1）当时，求函数值域；

（2）当时，求函数的单调区间.

19. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，其短轴两端点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.判断以为直径的圆是否过点，并说明理由.

20. 难度：困难

对于自然数数组，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果的极差，可实施如下操作：若中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为，其级差为.若，则继续对实施操作，…，实施次操作后的结果记为，其极差记为.例如：，.

（1）若，求和的值；

（2）已知的极差为且，若时，恒有，求的所有可能取值；

（3）若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在满足.