2013-2014学年北京市西城区高三一模文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设全集，集合，则集合（   ）

A.        B.           C.           D.

2. 难度：简单

已知平面向量，，那么等于（    ）

A.        B.         C.           D.

3. 难度：中等

已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则此双曲线的离心

率为（   ）

A.         B.           C.           D.

4. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A.          B.             C.            D.

5. 难度：简单

下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是（ ）

A. B.

C. D.

6. 难度：简单

设，且，则“函数在上是减函数”是“函数在

上是增函数”的（   ）

A.充分而不必要条件                 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件                     D.既不充分也不必要条件

7. 难度：简单

某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元. 设该设备使用了年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（    ）

A.             B.               C.            D.

8. 难度：中等

如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有（     ）

 

A.个         B.个           C.个        D.个

二、填空题

9. 难度：中等

设复数，其中、，则______.

10. 难度：简单

若抛物线的焦点在直线上，则_____；的准线方程为_____.

11. 难度：简单

已知函数，若，则实数______；函数的最大值为_____．

12. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，如果输入，，那么输出的值为______.

13. 难度：简单

若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_______.

14. 难度：中等

如图，在直角梯形中，，，，，，为线段（含端点）上一个动点，设，，记，则____；函数的值域为_________.

三、解答题

15. 难度：中等

在中，角、、所对的边分别为、、.已知.

（1）求的大小；

（2）如果，，求的值.

16. 难度：中等

某批次的某种灯泡共个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.

寿命（天）	频数	频率
合计

（1）根据频率分布表中的数据，写出、、的值；

（2）某人从这个灯泡中随机地购买了个，求此灯泡恰好不是次品的概率；

（3）某人从这批灯泡中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值.

17. 难度：困难

如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

18. 难度：中等

已知函数，其中.

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）如果对于任意，都有，求的取值范围.

19. 难度：压轴

已知椭圆的焦距为，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程.

（2）设斜率为的直线与相交于、两点，记面积的最大值为，证明：.

20. 难度：困难

在数列中，.从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列.例如数列、、、为的一个项子列.

（1）试写出数列的一个项子列，并使其为等比数列；

（2）如果为数列的一个项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；

（3）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：.