2013-2014学年北京市西城区高三一模理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设全集，集合，，则集合（ ）

A. B. C.  D.

2. 难度：简单

已知平面向量，，. 若，则实数的值为（ ）

A.  B. C. D.

3. 难度：简单

在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是（ ）

A.   B.   C.  D.

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，如果输入，，那么输出的a值为（ ）

A. B. C.    D.

5. 难度：中等

下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是（ ）

A. B.  C. D.

6. 难度：简单

“”是“方程表示双曲线”的（ ）

A.充分而不必要条件   B.必要而不充分条件

C.充分必要条件      D.既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元. 设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（）

A.     B.  C.     D.

8. 难度：中等

如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有（ ）

 

A.个    B.个    C.个  D.个

二、填空题

9. 难度：简单

设复数，其中、，则______.

10. 难度：简单

若抛物线的焦点在直线上，则_____；的准线方程为_____.

11. 难度：中等

已知一个正三棱柱的所有棱长均等于，它的俯视图是一个边长为的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.

12. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_______.

13. 难度：中等

科技活动后，名辅导教师和他们所指导的名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______.（用数字作答）

14. 难度：中等

如图，在直角梯形中，，，，，，为线段（含端点）上一个动点，设，，对于函数，给出以下三个结论：①当时，函数的值域为；

②，都有成立；

③，函数的最大值都等于.

其中所有正确结论的序号是_________.

 

三、解答题

15. 难度：中等

在中，角、、所对的边分别为、、.已知.

（1）求的大小；

（2）如果，，求的面积.

16. 难度：困难

在某批次的某种灯泡中，随机地抽取个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.

寿命（天）	频数	频率
合计

（1）根据频率分布表中的数据，写出、的值；

（2）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值；

（3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望.

17. 难度：困难

如下图，在四棱柱中，底面和侧面都

是矩形，是的中点，，.

（1）求证：

（2）求证：平面；

（3）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.

 

18. 难度：困难

已知函数，其中.

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）如果对于任意、，且，都有，求的取值范围.