2013-2014学年北京市西城区高三数学二模理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ）

（A）      （B）       （C）       （D）

2. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（   ）

（A）第一象限      （B）第二象限      （C）第三象限      （D）第四象限

3. 难度：中等

直线为双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率是（   ）

（A）       （B）       （C）       （D）

4. 难度：中等

某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则（     ）

A．，且

B．，且

C．，且

D．，且

5. 难度：简单

设平面向量，，均为非零向量，则“”是“”的（   ）

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（   ）

（A）       （B）       （C）       （D）

7. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域是，不等式组所表示的平面区域是. 从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率是（    ）

（A）        （B）        （C）       （D）

8. 难度：困难

设为平面直角坐标系中的点集，从中的任意一点作轴、轴的垂线，垂足分别为，，记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为. 若是边长为1的正方形，给出下列三个结论：

①的最大值为；

②的取值范围是；

③恒等于0.其中所有正确结论的序号是（     ）

（A）①      （B）②③      （C）①②      （D）①②③

二、填空题

9. 难度：中等

的二项展开式中，常数项为______．

10. 难度：简单

在△ABC中，若，，，则_____；_____．

11. 难度：简单

如图，AB和CD是圆的两条弦， AB与CD相交于点E，且，，则 ______；______.

12. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的a值为______．

13. 难度：中等

设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，则的取值范围是     .

14. 难度：中等

已知f是有序数对集合上的一个映射，正整数数对在映射f下的象为实数z，记作. 对于任意的正整数，映射由下表给出：

则__________，使不等式成立的x的集合是_____________.

三、解答题

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点，，其中.

（1）当时，求向量的坐标；

（2）当时，求的最大值.

16. 难度：中等

为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：

A班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.

B班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.

（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？

（2）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）

（3） 现从A班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X表示其中视力大于4.6的人数，求X的分布列和数学期望.

17. 难度：中等

如图，在三棱锥中，底面，，为的中点， 为的中点，，.

（1）求证：平面；

（2）求与平面成角的正弦值；

（3）设点在线段上，且，平面，求实数的值.

18. 难度：中等

已知函数，其中.

（1）若，求函数的极值；

（2）当时，试确定函数的单调区间.

19. 难度：中等

设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.

（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；

（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.

20. 难度：困难

在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为.

（1）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；

（2）若为等差数列，求出所有可能的数列；

（3）设，，求的值.（用表示）