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2013-2014学年北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（解析版）

一、选择题

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1. 难度：简单
已知集合,,则集合（） A. B. C. D.

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2. 难度：中等
某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（） A. 8万元 B. 10万元 C. 12万元 D. 15万

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3. 难度：简单
已知为虚数单位，在复平面内复数对应点的坐标为 A. B. C. D.

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4. 难度：简单
执行右边的程序框图，若，则输出的值为（） A. B. C. D.

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5. 难度：简单
执行右边的程序框图，若，则输出的值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：程序执行过程中，的值依次为；；；；；，程序结束，输出．考点：程序框图. 【题型】选择题【适用】容易【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( ) A. B. C. D.

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6. 难度：简单
下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：函数无奇偶性，故A错；函数无奇偶性，故B错；函数是奇函数，且在和递增，在定义域内无单调性，故D错；函数是奇函数且是增函数，故选C．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性. 【题型】选择题【适用】较易【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】已知向量，，则是的( ) (A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

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7. 难度：中等
已知向量，，则是的( ) (A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由题知，，则，即，故是的充分不必要条件. 考点：充分条件和必要条件. 【题型】选择题【适用】较易【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】过椭圆的焦点垂直于轴的弦长为，则双曲线的离心率的值是( ) A. B. C. D.

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8. 难度：中等
过椭圆的焦点垂直于轴的弦长为，则双曲线的离心率的值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题分析：设过焦点的弦的端点分别为，令，则，，则，故，，则，．考点：1、双曲线的标准方程和简单几何性质；2、椭圆的标准方程和简单几何性质. 【题型】选择题【适用】一般【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】设数集同时满足条件 ①中不含元素，②若，则. 则下列结论正确的是 ( ) （A）集合中至多有2个元素；（B）集合中至多有3个元素；（C）集合中有且仅有4个元素；（D）集合中有无穷多个元素.

二、填空题

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9. 难度：简单
设数集同时满足条件 ①中不含元素，②若，则. 则下列结论正确的是 ( ) （A）集合中至多有2个元素；（B）集合中至多有3个元素；（C）集合中有且仅有4个元素；（D）集合中有无穷多个元素. 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，若，则，则，，则，若，则，无解，同理可证明这四个元素中，任意两个元素不相等，故集合M中有且仅有4个元素．考点：1、推理证明；2、集合元素的互异性. 【题型】选择题【适用】一般【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】命题“”的否定是_________________.

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10. 难度：中等
命题“”的否定是_________________. 【答案】“” 【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，故命题“”的否定是“”. 考点：全称命题的否定. 【题型】填空题【适用】容易【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】抛物线上一点的横坐标为，则点与抛物线焦点的距离为________.

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11. 难度：中等
抛物线上一点的横坐标为，则点与抛物线焦点的距离为________. 【答案】【解析】试题分析：由已知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，根据抛物线的定义，点A到抛物线焦点的距离等于到准线的距离．考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程. 【题型】填空题【适用】一般【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是_________.

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12. 难度：简单
一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是_________. 【答案】【解析】试题分析：由三视图还原几何体，该几何体为底面半径为，高为的圆柱，去掉底面半径为，高为的圆锥的剩余部分，则其体积为．考点：1、三视图；2、几何体的体积. 【题型】填空题【适用】一般【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】函数（）的最小正周期为_____，最大值为____.

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13. 难度：中等
函数（）的最小正周期为_____，最大值为____. 【答案】；【解析】试题分析：由已知得，，故最小正周期为，最大值为．考点：1、余弦的二倍角公式和辅助角公式；2、三角函数的性质．【题型】填空题【适用】较易【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】设满足约束条件，则目标函数的最小值为___________.

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14. 难度：中等
设满足约束条件，则目标函数的最小值为___________. 【答案】【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，表示可行域内的点到原点的距离，由图得，距离的最小值为原点到直线的距离．考点：1、二元一次不等式表示的平面区域；2、平面内点到直线的距离和两点之间距离公式. 【题型】填空题【适用】一般【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】设等比数列满足公比,,且数列中任意两项之积也是该数列的一项.若，则的所有可能取值之和为_______________.

三、解答题

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15. 难度：中等
设等比数列满足公比,,且数列中任意两项之积也是该数列的一项.若，则的所有可能取值之和为_______________. 【答案】【解析】试题分析：设设设等比数列中的任意两项，由已知得，，，则，设是数列中的第项，则有，，故的取值只可能是，故的所有可能取值之和为. 考点：1、推理证明；2、等比数列的通项公式. 【题型】填空题【适用】一般【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】在中，角，，所对的边分别为为，，，且（1）求角；（2）若，，求，的值.

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16. 难度：中等
在中，角，，所对的边分别为为，，，且（1）求角；（2）若，，求，的值. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）将已知利用正弦二倍角公式展开，因为，约去，得的值，进而求；（2）已知三角形的面积和，不难想到，得，又根据余弦定理得，联立求即可．试题解析：（1）由已知，∴，∵，∴，∴．（2）由余弦定理，又， 10分由解得 13分考点：1、正弦二倍角公式；2、三角形面积公式；3、余弦定理. 【题型】解答题【适用】一般【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】已知关于的一次函数 (1）设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为，，求函数是增函数的概率； (2)若实数，满足条件，求函数的图象不经过第四象限的概率.

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17. 难度：困难
已知关于的一次函数 (1）设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为，，求函数是增函数的概率； (2)若实数，满足条件，求函数的图象不经过第四象限的概率. 【答案】（1）；(2) 【解析】试题分析：（1）依题意，基本事件总数为8个，记“函数是增函数”为事件A，则，事件A包含的基本事件分别为：，，，，共4个，由古典概型的概率计算公式得，所求概率为；(2)本题还有两个变量，基本事件用有序实数对表示，画出不等式表示的平面区域，即基本事件空间，因为函数的图象不经过第四象限，则满足，由几何概型的概率计算公式，可计算其面积的比即为概率. 试题解析：（1）抽取全部结果所构成的基本事件空间为共8个4分设函数是增函数为事件，，有4个7分（2）实数，满足条件，要函数的图象不经过第四象限则需使满足，即， 10分设“函数的图象不经过第四象限”为事件B，则．考点：1、一次函数的图象；2、古典概型；3、几何概型. 【题型】解答题【适用】一般【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】如图在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点是中点，点是边上的任意一点. （1）当点为边的中点时，判断与平面的位置关系，并加以证明；（2）证明：无论点在边的何处，都有；（3）求三棱锥的体积.

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18. 难度：困难
如图在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点是中点，点是边上的任意一点. （1）当点为边的中点时，判断与平面的位置关系，并加以证明；（2）证明：无论点在边的何处，都有；（3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）答案详见解析；（2）答案详见解析；（3）. 【解析】试题分析：（1）证明直线和平面平行的常用方法有两种：①证明直线和平面内的一条直线平行；②若两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面．本题中，易证，进而证明面；（2）要证明直线和直线垂直，往往通过证明直线和平面垂直.本题中，只需证明面，因，故只需证明，进而转化为证明面，因，故只需证明，显然易证；（3）求四面体体积，难点是确定四面体的高，如果高不易求，可考虑等体积转化，本题中三棱锥的体积可转化为的体积来求．试题解析：（1）当点为边的中点时，∵点是中点，∴，又∵面，面，∴面. （2）∵平面，∴，又∵底面是矩形，∴，，∴面，又∵面，∴，又，点是中点，∴，又,∴面．平面，10分（3）作∥交于，则平面，且三棱锥的体积为.14分考点：1、直线和平面平行的判定；2、直线和平面垂直的判定和性质；3、四面体的体积. 【题型】解答题【适用】较难【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】已知函数，（其中常数）（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若存在实数使得不等式成立，求的取值范围.

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19. 难度：困难
已知函数，（其中常数）（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若存在实数使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）先求导函数，由导数的几何意义知，利用直线的点斜式方程求切线方程；（2）依题意，只需在上成立，故转化为求函数在区间的最小值问题．的根，得，并讨论根定义域的位置，当，将定义域分段，并考虑导数的符号，判断函数大致图象，求函数的最小值；当时，函数单调性，利用单调性求函数的最小值，并列不等式，求参数的取值范围．试题解析：（1）定义域当时，，，曲线在处的切线方程为：. （2），令，在递减，在递增.. 若存在实数使不等式成立，只需在上成立， ①若，即时，，即，.10分 ②若，即时，，解得，故综上所述：的取值范围．考点：1、导数的几何意义；2、导数在单调性上的应用；3、利用导数求函数的极值、最值. 【题型】解答题【适用】较难【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）【关键字标签】【结束】已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，. （1）求椭圆的方程；（2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点. 求证：以为直径的圆过定点.

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20. 难度：困难

已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，.

（1）求椭圆的方程；

（2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.

求证：以为直径的圆过定点.

【答案】（1）；（2）答案详见解析.

【解析】

试题分析：（1）由已知，得，再根据离心率求，进而求，进而根据焦点位置求椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，得关于的一元二次方程，由题意，列方程得，同时可求出切点坐标，再求，要证明以为直径的圆过定点，只需证明即可，利用数量积的坐标运算可证明，本题最关键的是要注意点在圆上这个条件的运用．

试题解析：（1）由已知2分

，

椭圆的方程为；4分

（2）满分5 manfen5.com ，消去，得，则，可得，设切点，则，，故，又由，得，，，

，

以为直径的圆过定点..14分

考点：１、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、向量垂直的充要条件．

【题型】解答题
【适用】较难
【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

在个实数组成的行列数表中，先将第一行的所有空格依次填上，，，再将首项为公比为的数列依次填入第一列的空格内，然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规律填写其它空格

	第1列	第2列	第3列	第4列		第列
第1行
第2行
第3行
第4行

第行

（1）设第2行的数依次为.试用表示的值；

（2）设第3行的数依次为，记为数列.

①求数列的通项；

②能否找到的值使数列的前项（）成等比数列？若能找到，的值是多少？若不能找到，说明理由.

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