2013-2014学年吉林省长春市高三第四次调研测试文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A．   B．  C．   D．

2. 难度：简单

如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则（     ）

A．2    B．3    C．    D．

3. 难度：简单

已知三条不重合的直线和两个不重合的平面，下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，且，则

C．若，，则

D．若，，且，则

4. 难度：简单

设变量满足，则的最大值和最小值分别为（     ）

A．1，-1   B．2，-2   C．1，-2   D．2，-1

5. 难度：简单

按照下图的程序图计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（     ）

A．6   B．21    C．5050    D．231

6. 难度：中等

已知，，则（     ）

A．1    B．-1    C．2   D．-2 

7. 难度：中等

某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（     ）

A．9    B．10     C．11    D．13

8. 难度：中等

曲线在点处的切线为，则直线上的任意点P与圆上的任意点Q之间的最近距离是（     ）

A．    B．    C．   D．2

9. 难度：简单

右图为几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A．   B．   C．   D．

10. 难度：中等

双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点M，若垂直于x轴，则双曲线的离心率为（     ）

A．    B．  C．   D．

11. 难度：简单

已知函数，，的零点分别为，则（    ）

A．    B．   C．   D．

12. 难度：中等

若不等式对任意不大于1的实数x和大于1的正整数n都成立，则实数a的取值范围是（    ）

A．    B．  C．   D．

二、填空题

13. 难度：简单

将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制成频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频率之和等于27，则n等于         .

14. 难度：中等

已知向量，，若，在非零向量上的投影相等，且，则向量的坐标为        .

15. 难度：中等

已知，经计算得，，，，观察上述结果，可归纳出的一般结论为         .

16. 难度：中等

设a，b为实数，关于x的方程的4个实数根构成以d为公差的等差数列，若，则的取值范围是        .

三、解答题

17. 难度：中等

将函数的图形向右平移个单位后得到的图像，已知的部分图像如图所示，该图像与y轴相交于点，与x轴相交于点P、Q，点M为最高点，且的面积为.

（1）求函数的解析式；

（2）在中，分别是角A，B，C的对边，，且，求面积的最大值.

18. 难度：中等

由某种设备的使用年限（年）与所支出的维修费（万元）的数据资料算得如下结果，，，，.

（1）求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程；

（2）①判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少.

（附：在线性回归方程中，），，其中，为样本平均值.)

19. 难度：中等

如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，

.

（1）求证：；

（2）若，求三棱锥的体积.

20. 难度：中等

（本小题满分12分）

已知直线： 和椭圆，椭圆C的离心率为，连结椭圆的四个顶点形成四边形的面积为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线与椭圆C有两个不同的交点，求实数m的取值范围；

（3）当时，设直线与y轴的交点为P，M为椭圆C上的动点，求线段PM长度的最大值.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）证明：；

（2）证明：.

四、填空题

22. 难度：中等

如图，是的内接三角形，PA是圆O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交圆O于点D，PA=PE，，PD=1，DB=8.

（1）求的面积；

（2）求弦AC的长.

五、解答题

23. 难度：中等

长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，，点P的轨迹为曲线C.

（1）以直线AB的倾斜角为参数，求曲线C的参数方程；

（2）求点P到点D距离的最大值.

24. 难度：困难

已知实数，且，若恒成立.

（1）求实数m的最小值；

（2）若对任意的恒成立，求实数x的取值范围.