2013-2014学年吉林省长春市高三第四次调研测试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A．      B．     C．     D．

2. 难度：简单

如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则（     ）

A．2      B．3      C．        D．

3. 难度：中等

已知三条不重合的直线和两个不重合的平面，下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，且，则

C．若，，则

D．若，，且，则

4. 难度：简单

设变量满足，则的最大值和最小值分别为（     ）

A．1，-1      B．2，-2       C．1，-2      D．2，-1

5. 难度：简单

按照下图的程序图计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（     ）

A．6       B．21       C．5050       D．231

6. 难度：简单

已知，，则（     ）

A．1    B．-1    C．2   D．-2 

7. 难度：简单

某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（     ）

A．9        B．10        C．11       D．13

8. 难度：中等

曲线在点处的切线为，则直线上的任意点P与圆上的任意点Q之间的最近距离是（     ）

A．      B．      C．       D．2

9. 难度：中等

双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点M，若垂直于x轴，则双曲线的离心率为（     ）

A．        B．     C．      D．

10. 难度：简单

将一张边长为12cm的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置. 若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（     ）

  

A．    B．     C．     D．

11. 难度：简单

已知函数，，的零点分别为，则（    ）

A．      B．     C．      D．

12. 难度：困难

设数列，则对任意正整数都成立的是（    ）

A．         B．

C．          D．

二、填空题

13. 难度：中等

商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为           .（精确到0.0001）

14. 难度：中等

已知向量，，若，在非零向量上的投影相等，且，则向量的坐标为        .

15. 难度：中等

已知，经计算得，，，，观察上述结果，可归纳出的一般结论为         .

16. 难度：中等

设a，b为实数，关于x的方程的4个实数根构成以q为公比的等比数列，若，则的取值范围是        .

三、解答题

17. 难度：中等

将函数的图形向右平移个单位后得到的图像，已知的部分图像如图所示，该图像与y轴相交于点，与x轴相交于点P、Q，点M为最高点，且的面积为.

（1）求函数的解析式；

（2）在中，分别是角A，B，C的对边，，且，求面积的最大值.

18. 难度：困难

由某种设备的使用年限（年）与所支出的维修费（万元）的数据资料算得如下结果，，，，.

（1）求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程；

（2）①判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少.

（附：在线性回归方程中，），，其中，为样本平均值.)

19. 难度：简单

如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，

.

（1）求证：；

（2）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.

20. 难度：困难

如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）当时，证明：当时，；

（2）当时，证明：.

22. 难度：中等

如图，是的内接三角形，PA是圆O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交圆O于点D，PA=PE，，PD=1，DB=8.

（1）求的面积；

（2）求弦AC的长.

23. 难度：中等

长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，，点P的轨迹为曲线C.

（1）以直线AB的倾斜角为参数，求曲线C的参数方程；

（2）求点P到点D距离的最大值.

24. 难度：困难

已知实数，且，若恒成立.

（1）求实数m的最小值；

（2）若对任意的恒成立，求实数x的取值范围.