2013-2014学年吉林省长春市毕业班第二次调研测试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合，集合，则下列关系中正确的是（     ）

A．     B．

C．    D．

2. 难度：简单

设是虚数单位，则等于（     ）

A．   B．   C．    D．

3. 难度：中等

已知向量,,,若为实数，，则的值为（     ）

A．   B．    C．    D．

4. 难度：中等

已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是（     ）

A．      B．      C．      D.

5. 难度：中等

运行如图所示的程序框图，若输出的是，则①应为（     ）

A．n≤5   B．n≤6     C．n≤7  D．n≤8

6. 难度：中等

以下四个命题中：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；

③在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域内的概率为，则位于区域内的概率为；

④对分类变量与的随机变量K²的观测值k来说，k越小，判断“与有关系”的把握越大．其中真命题的序号为（     ）

A．①④   B．②④   C．①③   D．②③

7. 难度：中等

已知直线和直线，抛物线上一动点到直线

和直线的距离之和的最小值是（     ）

A．  B．2         C．   D．3

8. 难度：中等

计划将排球、篮球、乒乓球个项目的比赛安排在个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过个的安排方案共有（     ）

A．种  B．种  C．种   D．种

9. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（     ）

A．                B．

C．             D．

10. 难度：简单

已知函数，则的图象大致为（     ）

11. 难度：中等

已知直线与双曲线交于，两点(，在同一支上),为双曲线的两个焦点,则在（     ）

A．以，为焦点的椭圆上或线段的垂直平分线上

B．以，为焦点的双曲线上或线段的垂直平分线上

C．以为直径的圆上或线段的垂直平分线上

D．以上说法均不正确

12. 难度：困难

设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（     ）

A．  B． C． D．

二、填空题

13. 难度：简单

在△中，三个内角，，所对的边分别为，，，若,则=       .

14. 难度：简单

设的展开式的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为       .

15. 难度：困难

用一个边长为的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为       .

16. 难度：简单

已知数列中,,,,则=        .

三、解答题

17. 难度：困难

已知为锐角，且，函数，数列的首项，.

（1）求函数的表达式；（2）求数列的前项和．

18. 难度：中等

据IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，风能风区分类标准如下：

假设投资A项目的资金为（≥0）万元，投资B项目资金为（≥0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利的可能性为，亏损的可能性为；位于二类风区的B项目获利的可能性为，亏损的可能性是，不赔不赚的可能性是.

（1）记投资A，B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，；

（2）某公司计划用不超过万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A项目的投

资不得低于B项目,根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利

润之和的最大值．

19. 难度：困难

如图，已知四棱锥，底面是等腰梯形，

且∥，是中点，平面，

， 是中点．

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20. 难度：压轴

已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，问：△的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．

21. 难度：困难

已知函数．

（1）求的单调区间和极值；

（2）设，，且，证明：.

22. 难度：中等

如图，是圆的直径，是延长线上的一点，是圆的割线，过点作的垂线，交直线于点，交直线 于点，过点作圆的切线，切点为.

（1）求证：四点共圆；（2）若,求的长.

23. 难度：中等

已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．

24. 难度：困难

设函数.

（1）若不等式的解集为，求的值；

（2）若存在，使，求的取值范围.