2013-2014学年四川成都市高三下学期二月月考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于(    )  

A．            B．        C．           D．

2. 难度：简单

设，，，则(     )

A．    B．     C．    D．

3. 难度：简单

己知命题 “”是假命题，则实数的取值范围是(  )

A.        B. (−1,3)    C.    D. (−3,1)

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图．若输入，则输出的值是(      )

A．           B．      C．        D．

5. 难度：简单

下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；

②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；

④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.

则正确的命题是 (     ) 

A．①③        B．②③      C．①④      D．②④

6. 难度：简单

函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象（      ）

A. 向右平移个长度单位           B. 向左平移个长度单位

C. 向右平移个长度单位           D. 向左平移个长度单位

7. 难度：中等

已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（   ）

A．           B．          C．            D．

8. 难度：中等

若，则的值为（     ）

A.             B. 1               C. 2             D.

9. 难度：困难

已知函数,且函数恰有3个不同的零点,则实数的取值范围是（      ）

A.         B.          C.         D.

二、填空题

10. 难度：中等

已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为      .

11. 难度：中等

若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则      .

12. 难度：中等

在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则       ．

13. 难度：中等

设F是抛物线C₁：的焦点，点A是抛物线与双曲线C₂：的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为        ．

14. 难度：简单

给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：

①的定义域是，值域是；

②点是的图像的对称中心，其中；

③函数的最小正周期为；

④函数在上是增函数．

则上述命题中真命题的序号是             ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数的图像上两相邻最高点的坐标分别为.

（1）求的值；

（2）在中，分别是角的对边，且，求的取值范围.

16. 难度：中等

若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品

（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；

（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数的分布列和数学期望

17. 难度：困难

在数列中，为常数，，且成公比不等于1的等比数列

（1）求的值；

（2）设，求数列的前项和

18. 难度：困难

如图1，在Rt中，， D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求与平面所成角的余弦值；

（3）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．

19. 难度：困难

已知椭圆的两焦点在轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q?若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由

20. 难度：压轴

已知函数

（1）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（2）当时，恒成立，求整数的最大值；

（3）试证明：（）