1. 难度:中等 | |
复数(是虚数单位)在复平面内的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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2. 难度:中等 | |
命题“若,则一元二次方程有实根”的原命题与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( ) A.0 B.2 C.4 D.不确定
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3. 难度:中等 | |
若,且与的夹角为,当取得最小值时,实数的值为( ) A.2 B. C.1 D.
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4. 难度:中等 | |
一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示(单位:),则该几何体的体积为( ) A. B. C. D.
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5. 难度:中等 | |
已知集合,集合,则( ) A. B. C. D.
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6. 难度:中等 | |
已知数列是等差数列,,设为数列的前项和,则( ) A.2014 B. C.3021 D.
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7. 难度:简单 | |
已知是两个不同的平面,下列四个条件中能推出的是( ) ①存在一条直线; ②存在一个平面; ③存在两条平行直线; ④存在两条异面直线. A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
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8. 难度:中等 | |
设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,是的导函数,当时;;当且时,,则函数在区间上的零点个数为( ) A.2 B.4 C.6 D.8
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9. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系中,定点,两动点在双曲线的右支上,则的最小值是( ) A. B. C. D.
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10. 难度:困难 | |
设函数,若对任意给定的,都存在唯一的,满足,则正实数的最小值是( ) A. B. C.2 D.4
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11. 难度:简单 | |
已知,则.
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12. 难度:中等 | |
已知函数(且)的图象恒过定点,则不等式组所表示的平面区域的面积是.
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13. 难度:中等 | |
已知,且,则的最小值是.
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14. 难度:简单 | |
在三棱锥中,,,,则与平面所成角的余弦值为.
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15. 难度:中等 | |
方程的曲线即为函数的图象,对于函数,下列命题中正确的是.(请写出所有正确命题的序号) ①函数在上是单调递减函数;②函数的值域是; ③函数的图象不经过第一象限;④函数的图象关于直线对称; ⑤函数至少存在一个零点.
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16. 难度:中等 | |
已知函数,其中. (1)若,求函数的极值点; (2)若在区间内单调递增,求实数的取值范围.
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17. 难度:中等 | |
已知函数的部分图象如图所示,其中点A为最高点,点B,C为图象与轴的交点,在中,角对边为,,且满足. (1)求的面积; (2)求函数的单调递增区间.
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18. 难度:困难 | |
如图,已知的直径,点、为上两点,且,,为弧的中点.将沿直径折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2). (1)求证:; (2)在弧上是否存在点,使得平面?若存在,试指出点的位置;若不存在,请说明理由; (3)求二面角的正弦值.
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19. 难度:压轴 | |
学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽为2米,,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线,抛物线的顶点为,对称轴与地面垂直,沟深2米,沟中水深1米. (1)求水面宽; (2)如图1所示形状的几何体称为柱体,已知柱体的体积为底面积乘以高,求沟中的水有多少立方米? (3)现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟,使沟的底面与地面平行,沟深不变,两腰分别与抛物线相切(如图2),问改挖后的沟底宽为多少米时,所挖的土最少?
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20. 难度:压轴 | |
在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点. (1)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程; (2)已知,是曲线上的两点,若曲线上存在点,满足(为坐标原点),求实数的取值范围.
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21. 难度:压轴 | |
已知数列的前项和为满足. (1)函数与函数互为反函数,令,求数列的前项和; (2)已知数列满足,证明:对任意的整数,有.
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