2013-2014学年安徽省安庆市高三第二次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知为虚数单位，复数，为其共轭复数，则等于(    )

A.     B.    C.     D.

2. 难度：简单

已知集合，，则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为(     )

A.   B.    C.   D.

3. 难度：中等

已知等差数列中，，则(     )

A.8   B.21    C.28   D.35

4. 难度：中等

在演讲比赛决赛中，七位评委给甲、乙两位选手打分的茎叶图如图所示，但其中在处数据丢失.按照规则，甲、乙各去掉一个最高分和一个最低分，用和分别表示甲、乙两位选手获得的平均分，则(     )

A.           B.

C.           D.和之间的大小关系无法确定

5. 难度：简单

右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体的体积为(      )

A. 2         B.        C.         D.

6. 难度：中等

在极坐标系中，圆:上到直线：距离为1的点的个数为(   )

A. 1     B. 2     C. 3     D. 4

7. 难度：困难

已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点、，是两曲线的一个公共点，若，则等于(     )

A.    B.    C.   D.

8. 难度：中等

数列共有5项，其中，，且，，则满足条件的不同数列的个数为(     )

A. 3   B. 4   C. 5     D. 6

9. 难度：中等

已知点、，直线与线段相交，则的最小值为(    )

A.   B.     C.    D.

10. 难度：中等

设，则、、的大小关系是(     )

A.          B.

C.          D.

二、填空题

11. 难度：中等

如果（为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含项的系数为.

12. 难度：中等

在中，分别为角的对边，若，且,则边等于.

13. 难度：中等

在如图所示的程序框图中，若输出的，则输入的的最大值为.

14. 难度：困难

已知函数有三个零点，则实数的取值范围为.

15. 难度：压轴

如图，设，且.当时，定义平面坐标系为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中,任意一点的斜坐标这样定义：分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若，则记为，那么在以下的结论中，正确的有.（填上所有正确结论的序号）

①设、，若，则；

②设，则；

③设、，若，则；

④设、，若，则；

⑤设、，若与的夹角，则.

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，，函数，.

（1）求函数的图像的对称中心坐标；

（2）将函数图像向下平移个单位，再向左平移个单位得函数的图像，试写出的解析式并作出它在上的图像.

17. 难度：中等

某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有、两个定点投篮位置，在点投中一球得2分，在点投中一球得3分.其规则是：按先后再的顺序投

篮.教师甲在和点投中的概率分别是，且在、两点投中与否相互独立.

（1）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X的分布列和数学期望；

（2）若教师乙与甲在A、B点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率.

18. 难度：困难

已知函数，（）.

（1）若有最值，求实数的取值范围；

（2）当时，若存在、，使得曲线在与处的切线互相平行，求证：.

19. 难度：困难

如图，是以为直径的半圆上异于、的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且.

（1）求证：；

（2）若异面直线和所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

20. 难度：中等

已知椭圆的方程为,其中.

（1）求椭圆形状最圆时的方程；

（2）若椭圆最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点，证明：点在一个定圆上.

21. 难度：压轴

已知数列满足，，()

（1）若，数列单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，试写出对任意成立的充要条件，并证明你的结论.