2013-2014学年山东省日照市高三3月第一次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合（e为自然对数的底数） (    )

A.  B.   C.   D.

2. 难度：简单

复数(    )

A.   B.     C.    D.

3. 难度：中等

三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正（主）视图（如图所示）的面积为8，则侧（左）视图的面积为(    )

A.8  B.4 C. D.

4. 难度：简单

函数的图象的一条对称轴的方程是( )

A.    B.  C.  D.

5. 难度：简单

“”是“”的(    )

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件         D.既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

若的弦AB的中点，则直线AB的方程是(    )

A.   B.

C.   D.

7. 难度：简单

从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为(    )

A.224    B.112    C.56   D.28

8. 难度：困难

现有四个函数①②，③，④的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是(    )

A.①④②③   B.①④③② C.④①②③ D.③④②①

9. 难度：中等

已知三点，且，则动点P到点C的距离小于的概率为(    )

A.  B.   C.   D.

10. 难度：困难

已知定义在R上的函数满足：，，则方程在区间上的所有实根之和为(    )

A.   B.   C.    D.

二、填空题

11. 难度：中等

若展开式中的第5项为常数，则n等于__________.

12. 难度：简单

执行右面的框图，若输出p的值是24，则输入的正整数N应为________.

13. 难度：中等

若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为__________.

14. 难度：困难

已知双曲正弦函数和双曲作弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________.

15. 难度：困难

若关于x的不等式（组）恒成立，则所有这样的解x构成的集合是____________.

三、解答题

16. 难度：简单

已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）在中，若的值.

17. 难度：中等

寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如果所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）；若幸福度分数不低于8.5分，则该人的幸福度为“幸福”.

（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；

（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望.

18. 难度：困难

如图，等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，.

（1）证明：；

（2）求二面角A-BP-D的余弦值.

19. 难度：困难

已知数列是首项为，公比的等比数列，设.

（1）求证数列的前n项和；

（2）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.

20. 难度：困难

椭圆的方程为，离心率为，且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1，抛物线的方程为，抛物线的焦点F与椭圆的一个顶点重合.

（1）求椭圆和抛物线的方程；

（2）过点F的直线交抛物线于不同两点A,B，交y轴于点N，已知的值.

（3）直线交椭圆于不同两点P,Q，P,Q在x轴上的射影分别为P′,Q′，满足(O为原点)，若点S满足，判定点S是否在椭圆上，并说明理由.

21. 难度：压轴

已知函数..

（1）设曲线处的切线为，点（1，0）到直线l的距离为，求a的值；

（2）若对于任意实数恒成立，试确定的取值范围；

（3）当是否存在实数处的切线与y轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.