2013-2014学年山东省青岛市高三4月统一质量检测考试文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合，则（   ）

A．           B．

C．          D．

2. 难度：简单

已知复数，其中为虚数单位，则的实部为（   ）

A．       B．       C．       D．

3. 难度：简单

数列为等差数列，为等比数列，，则（   ）

A．       B．       C．      D．

4. 难度：简单

函数（)的图象如图所示，则的值为 （   ）

A．       B．       C．       D．

5. 难度：简单

在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（   ）

A．        B．      C．        D．

6. 难度：简单

如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是（   ）

A．       B．       C．       D．

7. 难度：简单

某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生名，抽取了一个容量为的样本，已知样本中女生比男生少人，则该校共有女生（   ）

A．人      B．人      C．人      D．人

8. 难度：中等

已知点与点在直线的两侧，且， 则的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

9. 难度：中等

已知三棱锥中，，，，，，则关于该三棱锥的下列叙述正确的为（   ）

A．表面积      B．表面积为  

C．体积为                    D．体积为

10. 难度：困难

已知定义在实数集上的偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是（   ）

A．          B．        C．          D．

二、填空题

11. 难度：简单

抛物线的焦点坐标为               ．

12. 难度：简单

已知与之间具有很强的线性相关关系，现观测得到的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为，其中的值没有写上．当等于时，预测的值为            ．

13. 难度：简单

已知，和的夹角为，以为邻边作平行四边形，则该四边形的面积为               ．

14. 难度：中等

如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，则                   ．

15. 难度：中等

对于下列命题：①函数在区间内有零点的充分不必要条件是；②已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“”是“对任意的实数，恒成立”的充要条件；④“”是“方程表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是                 ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数，．

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为,为坐标原点,求的外接圆的面积．

17. 难度：中等

已知函数．

（1）从区间内任取一个实数，设事件={函数在区间上有两个不同的零点}，求事件发生的概率；

（2）若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为）得到的点数分别为和，记事件{在恒成立}，求事件发生的概率．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为正方形，

平面，已知，为线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）求四棱锥的体积．

19. 难度：困难

已知数列满足：且．

（1）令，判断是否为等差数列，并求出；

（2）记的前项的和为，求．

20. 难度：压轴

已知函数，，其中，为自然对数的底数．

（1）若在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）求在上的最小值；

（3）试探究能否存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性？若能存在，说明区间的特点，并指出和在区间上的单调性；若不能存在，请说明理由．

21. 难度：困难

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点．

（1）求曲线的方程；

（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（3）记的面积为，求的最大值．