2013-2014学年山东省青岛市高三4月统一质量检测考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若集合，则（    ）

A．            B．

C．           D．

2. 难度：简单

已知（），其中为虚数单位，则（    ）

A．       B．       C．       D．

3. 难度：简单

数列为等差数列，为等比数列，，则（    ）

A．       B．       C．      D．

4. 难度：简单

函数（)的图象如图所示，则的值为（    ） 

A．       B．       C．       D．

5. 难度：简单

在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（    ）

A．        B．      C．        D．

6. 难度：中等

如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是（    ）

A．       B．       C．       D．

7. 难度：中等

设则二项式的展开式中的系数为（    ）

A．       B．      C．       D．

8. 难度：中等

已知点与点在直线的两侧，且， 则的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

9. 难度：简单

已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A.        B.         C.        D.

10. 难度：简单

已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是（    ）

A. 个       B. 个       C. 个       D.

二、填空题

11. 难度：简单

抛物线的焦点坐标为                .

12. 难度：简单

已知与之间具有很强的线性相关关系，现观测得到的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为，其中的值没有写上．当不小于时，预测最大为           .

13. 难度：简单

已知，以为邻边的平行四边形的面积为，则和的夹角为            .

14. 难度：困难

在某班进行的演讲比赛中，共有位选手参加，其中位女生，位男生.如果位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为              .

15. 难度：简单

对于下列命题：①函数在区间内有零点的充分不必要条件是；②已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“”是“对任意的实数，恒成立”的充要条件；④“”是“方程表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是                 .

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数，．

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）已知中的三个内角所对的边分别为，若锐角满足，且，，求的面积．

17. 难度：中等

某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了名学生作为志愿者，参加相关的活

动事宜．学生来源人数如下表：

学院	外语学院	生命科学学院	化工学院	艺术学院
人数

（1）若从这名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一学院的概率；

（2）现要从这名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题．设其中来自外语学院的人数为，令，求随机变量的分布列及数学期望.

18. 难度：困难

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

19. 难度：困难

已知数列中，，，记为的前项的和，，．

（1）判断数列是否为等比数列，并求出；

（2）求.

20. 难度：压轴

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点.

（1）求曲线的方程；

（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（3）记的面积为，的面积为，令，求的最大值.

21. 难度：困难

已知函数，满足，且，为自然对数的底数．

（1）已知，求在处的切线方程；

（2）若存在，使得成立，求的取值范围；

（3）设函数，为坐标原点，若对于在时的图象上的任一点，在曲线上总存在一点，使得，且的中点在轴上，求的取值范围．