2013-2014学年广东省东莞市高三模拟（一）理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U＝R，集合, ,则A∩(∁_U B)＝(  )

A．(0,1)         B．        C．(1, 2)    D． (0,2) 

2. 难度：简单

设、，若，则下列不等式中正确的是(     )

A．    B．    C．    D．

3. 难度：简单

设是等差数列,若则数列前8项和为（      ）

A．128                B.80              C.64              D.56

4. 难度：简单

已知函数则函数的零点为(    )

A．和1      B．和0     C．         D．

5. 难度：简单

给出下列三个结论：

（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题；

（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”；

（3）命题“”的否定是“ ”.则以上结论正确的个数为(     )

A．           B．         C．          D．

6. 难度：中等

函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象(     )

A．关于点对称      B．关于直线对称

C．关于点对称       D．关于直线对称

7. 难度：简单

已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为(    ）

A．         B．       C．     D．

8. 难度：困难

设，，为整数（m>0），若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是(    )

A．2011                B．2012                 C．2013                 D．2014

二、填空题

9. 难度：简单

某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．

10. 难度：中等

某几何体的三视图如图，则它的体积是________．

11. 难度：简单

的展开式中x³的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）

12. 难度：简单

已知集合A＝{x|x²－2x－3＞0 }，B＝{x|ax²＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，

A∪B＝R，则的最小值为＿＿＿＿.

13. 难度：中等

请阅读下列材料：若两个正实数a₁，a₂满足，那么.

证明：构造函数，因为对一切实数x，恒有，所以 ，从而得，所以.

根据上述证明方法，若n个正实数满足时，你能得到的结论为           .（不必证明）

14. 难度：中等

已知直线（为参数且）与曲线(是参数且)，则直线与曲线的交点坐标为        .

15. 难度：中等

如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为       ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，．

⑴ 求的最小正周期；

⑵设、，，，求的值．

17. 难度：中等

某校高一年级60名学生参加数学竞赛，成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）求成绩在区间的频率；

（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[90，100]内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值.

18. 难度：困难

如图所示的多面体中， 是菱形，是矩形，平面，，．

(1)求证：平面平面；

(2)若二面角为直二面角，求直线与平面所成的角的正弦值．

19. 难度：困难

如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)求椭圆E的方程；

(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．

（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．

20. 难度：困难

已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的极值；

（3）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围．

21. 难度：压轴

已知数列中，，且．为数列的前项和，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项的和；

（3）证明对一切，有．