2013-2014学年广东省东莞市高三第二次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知全集，集合和集合中

的元素共有（    ）

A.个          B.个          C.个        D.无穷多个

2. 难度：简单

若复数是纯虚数，则实数的值为（    ）

A.            B.             C.          D.或

3. 难度：简单

已知等差数列的前项和为，且，，则该数列的公差（    ）

A.             B.             C.           D.

4. 难度：中等

已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ）

A.             B.                C.             D.

5. 难度：中等

若向量，，则的最大值为（   ）

A.             B.              C.              D.

6. 难度：简单

已知平面、和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.

由这五个条件中的两个同时成立能推导出的是（    ）

A.①④            B.①⑤         C.②⑤         D.③⑤

7. 难度：简单

若变量、满足约束条件，则的取值范围是（    ）

A.        B.         C.           D.

8. 难度：中等

对任意实数、，定义运算，其中、、是常数，等式右边的运算

是通常的加法和乘法运算.已知，，并且有一个非零常数，使得，都有

，则的值是（     ）

A.              B.               C.              D.

二、填空题

9. 难度：简单

一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的俯视图的面积为       .

10. 难度：中等

二项式的展开式中常数项为_______.

11. 难度：简单

执行如图的程序框图，输出的       .

12. 难度：中等

已知函数，则的值等于        .

13. 难度：简单

已知的内角、、的对边分别为、、，且，，，则

的面积等于________.

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线的方程是，以极点为原

点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线的方程是.如果直线与

垂直，则常数          .

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图3，在中，，，若，，

，则的长为_______.

三、解答题

16. 难度：中等

设函数，.

（1）若，求的最大值及相应的的取值集合；

（2）若是的一个零点，且，求的值和的最小正周期.

17. 难度：中等

地为绿化环境，移栽了银杏树棵，梧桐树棵.它们移栽后的成活率分别

为、，每棵树是否存活互不影响，在移栽的棵树中：

（1）求银杏树都成活且梧桐树成活棵的概率；

（2）求成活的棵树的分布列与期望.

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面

底面，且，、分别为、的中点.

（1）求证：平面；   

（2）求证：面平面；

（3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？说明理由.

19. 难度：中等

设数满足：.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，且对任意的正整数，都有，求实数的取值范围.

20. 难度：困难

已知定点、，动点，且满足、、

成等差数列.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若曲线的方程为，过点的直线与曲线相切，

求直线被曲线截得的线段长的最小值.

21. 难度：困难

已知函数满足如下条件：当时，，且对任

意，都有.

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）求当，时，函数的解析式；

（3）是否存在，、、、、，使得等式

成立？若存在就求出（、、、、），若不存在，说明理由.