2013-2014学年广东省揭阳市高三3月第一次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若复数满足：，则（    ）

A.                       B.                       C.                        D.

2. 难度：简单

设函数的定义域为，函数的定义域为，则（   ）

A.       B.          C.       D.

3. 难度：简单

设平面、，直线、，，，则“，”是“”的（    ）

A.充分不必要条件                B.必要不充分条件  

C.充要条件                      D.既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ）

A.          B.            C.         D.

5. 难度：中等

一简单组合体的三视图如图（1）所示，则该组合体的体积为（    ）

A.                   B.                   C.                D.

6. 难度：中等

如图所示的程序框图，能使输入的值与输出的值相等的值个数为（    ）

A.           B.         C.              D.

7. 难度：困难

设点是函数图象上的任意一点，点，则的最小值为（    ）

A.           B.          C.         D.

8. 难度：困难

定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，用表示有限集的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合，都有；②存在集合，使得；

③用表示空集，若，则；④若，则；⑤若

，则其中正确的命题个数为（    ）

A.                B.                 C.                D.

二、填空题

9. 难度：简单

若点在函数的图象上，则的值为        .

10. 难度：简单

根据某固定测速点测得的某时段内过往的辆机动车的行驶速度（单位：）绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为，则该时段内过往的这辆机动车中属非正常行驶的有      辆，图中的值为         .

11. 难度：中等

已知向量、满足，，且，则与的夹角为          .

12. 难度：简单

已知首项为正数的等差数列中，.则当取最大值时，数列的公差

         .

13. 难度：中等

从中任取一个数，从中任取一个数，则使的概率为     .

14. 难度：简单

已知直线（为参数且）与曲线

（是参数且），则直线与曲线的交点坐标为        .

15. 难度：中等

如图，是半圆的直径，是延长线上一点，切半圆于点，，，垂足为，且是的中点，则的长为       .

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的定义域和最小正周期；

（2）若，，求的值.

17. 难度：中等

图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（）小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并停留天.

（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；

（2）设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望．

18. 难度：困难

如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，过作垂直交于点，作垂直交于点，平面交于点，且，.

（1）设点是上任一点，试求的最小值；

（2）求证：、在以为直径的圆上；

（3）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

19. 难度：困难

已知正项数列满足：，数列的前项和为，且满足，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求证：.

20. 难度：困难

如图所示，已知、、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆中心，且，．

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上是否存点，使得？若存在，有几个（不必求出点的坐标），若不存在，请说明理由；

（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条线，切点分别为、，，若直线 在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）当且时，证明：；

（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，证明：.