2013-2014学年广东省揭阳市高三4月第二次模拟考试文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知是实数（是虚数单位），则实数的值为（    ）

A.            B.         C.           D.

2. 难度：简单

某校有男、女生各名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是  （　　）

A.抽签法         B.随机数法       C.系统抽样法         D.分层抽样法

3. 难度：简单

设全集，，则（    ）

A.          B.         C.        D.

4. 难度：简单

下列函数中，既是偶函数又在区间上存在零点的是（    ）

A.         B.          C.         D.

5. 难度：简单

已知等差数列中，，前项和，则等于（    ）

A.           B.         C.           D.

6. 难度：简单

已知命题：函数是最小正周期为的周期函数，命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是（   ）

A.                   B.

C.              D.

7. 难度：简单

在平面直角坐标系中，，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（    ）

A.          B.        C.          D.

8. 难度：简单

运行如图的程序框图，则输出的结果是（     ）

A.           B.           C.           D.

9. 难度：简单

已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯

形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（    ）

A.           B.             C.            D.

10. 难度：简单

若曲线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围是（    ）

A.          B.          C.         D.

二、填空题

11. 难度：简单

若，则         .

12. 难度：中等

过点作圆的弦，其中最短的弦长为      .

13. 难度：简单

某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据：

根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程中的的值为，则记忆力为的同学的判断力约为         .

（附：线性回归方程中，，其中、为样本平均值)

14. 难度：简单

在极坐标系中，过点引圆的一条切线，则切线长为         .

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图3，是圆的切线，切点为，交圆于、两点，且，，则的长为              .

三、解答题

16. 难度：中等

在中，已知，且.

（1）求角和的值；

（2）若的边，求边的长.

17. 难度：中等

下表是某市从3月份中随机抽取的天空气质量指数（）和“”（直径小于等于微米的颗粒物）小时平均浓度的数据，空气质量指数（）小于表示空气质量优良．

日期编号
空气质量指数（）
“”小时平均浓度（）

（1）根据上表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率；

（2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件为“抽取的两个日期中，当天‘’的小时平均浓度不超过”，求事件发生的概率.

18. 难度：困难

如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，，，，点、、分别为、、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：面；

（3）求点到平面的距离.

19. 难度：压轴

已知抛物线的方程为，直线的方程为，点关于直线的对称点在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知，求过点及抛物线与轴两个交点的圆的方程；

（3）已知，点是抛物线的焦点，是抛物线上的动点，求的最小值及此时点的坐标；

20. 难度：压轴

已知函数.

（1）若当时，函数的最大值为，求的值；

（2）设（为函数的导函数），若函数在上是单调函数，求的取值范围.

21. 难度：困难

已知等比数列满足：，公比，数列的前项和为，且.

（1）求数列和数列的通项和；

（2）设，证明：.