2013-2014学年广东省揭阳市高三4月第二次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集，，则（     ）

A.         B.          C.          D.

2. 难度：中等

已知（是虚数单位），则实数的值为（    ）

A.             B.                C.               D.

3. 难度：中等

已知等差数列中，，前项和，则等于（    ）

A.         B.          C.         D.

4. 难度：中等

运行如图的程序框图，则输出的结果是（     ）

A.             B.             C.             D.

5. 难度：简单

已知命题：函数是最小正周期为的周期函数，命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是（   ）

A.          B.         C.          D.

6. 难度：中等

某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据：

根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程中的的值为，则记忆力为的同学的判断力约为（附：线性回归方程中，，其中、为样本平均值)（  ）

A.           B.            C.              D.

7. 难度：简单

若，则（    ）

A.                    B.

C.                    D.

8. 难度：简单

已知点、的坐标满足不等式组，若，则的

取值范围是（     ）

A.         B.          C.         D.

二、填空题

9. 难度：中等

不等式的解集为         .

10. 难度：中等

的展开式中的系数为         .

11. 难度：简单

过点作圆的弦，其中最短的弦长为      .

12. 难度：中等

已知一棱锥的三视图如图2所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为          .

 

13. 难度：中等

已知函数为偶函数，且，若函数，则

           .

14. 难度：中等

在极坐标系中，过点引圆的一条切线，则

切线长为         .

15. 难度：中等

如图，是圆的切线，切点为，交圆于、两点，且，，则的长为              .

三、解答题

16. 难度：中等

在中，已知，且.

（1）求角和的值；

（2）若的边，求边的长.

17. 难度：中等

下表是某市从3月份中随机抽取的天空气质量指数（）和“”（直径小于等于微米的颗粒物）小时平均浓度的数据，空气质量指数（）小于表示空气质量优良．

日期编号
空气质量指数（）
“”小时平均浓度（）

（1）根据上表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率；

（2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件为“抽取的两个日期中，当天‘’的小时平均浓度不超过”，求事件发生的概率；

（3）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取天，记为“”小时平均浓度不超过的天数，求的分布列和数学期望.

18. 难度：困难

已知等比数列满足：，公比，数列的前项和为，且.

（1）求数列和数列的通项和；

（2）设，证明：.

19. 难度：困难

如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，

，，，点、、分别为、、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求二面角的余弦值.

20. 难度：中等

已知抛物线的方程为，直线的方程为，点关于直线的对称点在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知，点是抛物线的焦点，是抛物线上的动点，求的最小值及此时点的坐标；

（3）设点、是抛物线上的动点，点是抛物线与轴正半轴交点，是以为直角顶点的直角三角形．试探究直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

21. 难度：困难

已知函数，（为常数）．

（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；

（2）若，，、使得成立，求满足上述条件的最大整数；

（3）当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数、，都有

成立，求的取值范围.