2013-2014学年广东省肇庆市高三3月第一次模拟理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知全集U={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，集合M={大于且小于4的整数}，则(    )

A．                  B．{-2，-1，5，6}

C．{0，1，2，3，4}    D．{-2，-1，4，5，6}

2. 难度：简单

定义域为R的四个函数，，，中，偶函数的个数是(    )

A．4          B．3           C．2             D．1

3. 难度：中等

设是虚数单位，，为复数的共轭复数，则 (    )

A．       B．         C．      D．

4. 难度：简单

二项式的展开式中的系数是(    )

A．84           B．-84             C．126           D．-126

5. 难度：简单

某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该四棱锥的体积是(    )

A．   B．   C．   D．

6. 难度：简单

若如图所示的程序框图输出的S是30，则在判断框中M表示的“条件”应该是(    )

A．          B．

C．         D．

7. 难度：简单

下列命题中，真命题是 (    )

A．，；

B．，；

C．“”是“”的充分不必要条件；

D．设，为向量，则“”是“”的必要不充分条件

8. 难度：中等

设向量，，定义一种向量积：．已知向量，，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是(    )

A．4        B．2          C．          D．

二、填空题

9. 难度：简单

函数的定义域为    .

10. 难度：简单

曲线在处的切线方程为    .

11. 难度：简单

已知等比数列满足，则    .

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组所表示的平面区域内一动点，则线段|OP|的最小值等于    .

13. 难度：中等

已知集合A={4}，B={1，2}，C={1，3，5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为    .

14. 难度：简单

已知曲线C的极坐标方程为（），曲线C在点（2，）处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为    .

15. 难度：中等

如图，△ABC的外角平分线AD交外接圆于D，若，则DC=    .

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，，，函数.

（1）求函数的表达式；

（2）求的值；

（3）若，，求的值.

17. 难度：中等

随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数是：，2；，7；，10；，x；[90，100]，2.其频率分布直方图受到破坏，可见部分如下图所示，据此解答如下问题.

（1）求样本的人数及x的值；

（2）估计样本的众数，并计算频率分布直方图中的矩形的高；

（3）从成绩不低于80分的样本中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.

18. 难度：困难

如图，在直三棱柱中，D、E分别是BC和的中点，已知AB=AC=AA₁=4，BAC=90.

（1）求证：⊥平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求三棱锥的体积.

19. 难度：困难

已知数列的前n项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列{}的前n项和，求；

（3）设，证明：.

20. 难度：困难

设双曲线C：（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（，0），离心率， A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）求直线AB方程；

（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

21. 难度：困难

设函数.

（1）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；

（2）当a=1时，求函数在区间[t，t+3]上的最大值.