2013-2014学年广东省韶关市高三4月高考模拟（二模）理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

是虚数单位,则复数在复平面内对应的点在（　　）

A．第一象限       B．第二象限        C．第三象限       D．第四象限

2. 难度：中等

函数的零点所在区间是（    ）

A．       B．       C．      D．

3. 难度：中等

在钝角中，，，则的面积为（　　）

A．       B．      C．     D．

4. 难度：中等

某个几何体的三视图如图（其中正视图中的圆弧是半圆）所示,则该几何体的表面积为（    ）

A．      B．       C．      D．

5. 难度：简单

执行如图所示的程序框图,若输出的结果是,则判断框内的条件（　　）

A．?        B．?        C．?        D．?

6. 难度：简单

给出下列四个命题，其中假命题是（   ）

A．从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

B．样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；

C．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；

D．设随机变量服从正态分布，若则.

7. 难度：中等

给出如下四个判断：

①；

②；

③设集合,,则“”是“”的必要不充分条件;

④ ,为单位向量,其夹角为，若，则.

其中正确的判断个数是：（    ）

A．１         B．２         C．３         D．４

8. 难度：中等

若直角坐标平面内的两不同点、满足条件：①、都在函数的图像上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数=，则此函数的“友好点对”有（    ）对．

A． 0             B．1                C．2         D．3

二、填空题

9. 难度：简单

函数的定义域是________．

10. 难度：简单

已知向量,,且∥，则________.

11. 难度：简单

已知两条平行直线与之间的距离是          .

12. 难度：中等

抛物线在处的切线与轴及该抛物线所围成的图形面积为          .

13. 难度：中等

已知,若恒成立, 则的取值范围是      .

14. 难度：中等

若以为极点，轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为：上的点到曲线的参数方程为：（为参数）的距离的最小值为        .

15. 难度：中等

如图所示，是半径等于的圆的直径，是圆的弦，,的延长线交于点，若，，则.

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数

(1)求的值；

（2）当时，求函数的值域.

17. 难度：中等

袋中装有大小和形状相同的小球若干个黑球和白球，且黑球和白球的个数比为４:３,从中任取2个球都是白球的概率为现不放回从袋中摸取球，每次摸一球，直到取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.

（1）求袋中原有白球、黑球的个数；

（2）求随机变量的分布列和数学期望.

18. 难度：困难

如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，为的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19. 难度：困难

已知点，的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设是曲线上的动点，直线，分别交直线于点，线段的中点为，求直线与直线的斜率之积的取值范围；

（3）在（2）的条件下，记直线与的交点为，试探究点与曲线的位置关系，并说明理由.

20. 难度：困难

已知正项数列中，其前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设是数列的前项和，是数列的前项和，求证：.

21. 难度：困难

已知函数，其中且.

（1）讨论的单调性；

(2) 若不等式恒成立，求实数取值范围；

（3）若方程存在两个异号实根，，求证：