2013-2014学年江苏省南京市高三年级第三次模拟考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2，xR}，B＝{x|x＜1，xR}，则(∁_UA)∩B＝         ．

2. 难度：简单

已知(1＋)²＝a＋bi(a，bR，i为虚数单位)，则a＋b＝      ．

3. 难度：简单

某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为      ．

二、选择题

4. 难度：简单

现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为      ．

三、填空题

5. 难度：简单

执行右边的伪代码，输出的结果是      ．

6. 难度：简单

已知抛物线y²＝2px过点M(2，2)，则点M到抛物线焦点的距离为      ．

7. 难度：简单

已知tanα＝－2，，且＜α＜π，则cosα＋sinα＝      ．

8. 难度：简单

已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：

①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；       ②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若m∥α，m⊥n，则n⊥α；       ④若m∥α，mβ，则α∥β．

其中所有真命题的序号是      ．

9. 难度：简单

将函数f(x)＝sin(3x＋)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)在[，]上的最小值为      ．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n＝a_n－1－a_n－2(n≥3，n∈N*)，它的前n项和为S_n．若S₉＝6，S₁₀＝5，则a₁的值为      ．

11. 难度：简单

已知函数f (x)＝，则关于x的不等式f(x²)＞f(3－2x)的解集是      ．

12. 难度：简单

在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则的取值范围为      ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)²＋y²＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60，则圆M的方程为             ．

14. 难度：中等

设二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a，b，c为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为      ．

四、解答题

15. 难度：简单

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＋1＝．

（1）求B；

（2）若cos(C＋)＝，求sinA的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P－ABCD中，O为AC与BD的交点，AB平面PAD，△PAD是正三角形，  

DC//AB，DA＝DC＝2AB.

（1）若点E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求的值；

（2）求证：平面PBC平面PDC.

17. 难度：简单

某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现f(n)近似地满足 f(n)＝，其中，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．

（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；

（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．

五、填空题

18. 难度：中等

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝b．过点P作两条互相垂直的直线l₁，l₂与椭圆C分别交于另两点M，N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l₁的斜率为－1，求△PMN的面积；

（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．

六、解答题

19. 难度：困难

已知函数f(x)＝lnx－mx（mR）．

（1）若曲线y＝f(x)过点P(1，－1)，求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程；

（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；

（3）若函数f(x)有两个不同的零点x₁，x₂，求证：x₁x₂＞e²．

20. 难度：压轴

已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a₁，a₂， ，a_m和正数b₁，b₂， ，

b_m，使a，a₁，a₂， ，a_m，b是等差数列，a，b₁，b₂， ，b_m，b是等比数列．

（1）若m＝5，＝，求的值；

（2）若b＝λa(λ∈N^*，λ≥2)，如果存在n (n∈N^*，6≤n≤m)使得a_n－5＝b_n，求λ的最小值及此时m的值；

（3）求证：a_n＞b_n(n∈N*，n≤m)．

21. 难度：中等

已知圆O的内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一

点，AE为圆O的切线，求证：CD²＝BD·EC．

22. 难度：中等

已知矩阵A＝(k≠0)的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A^－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆＝1上在第一象限的点，A(2，0)，B(0，2)

是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．

24. 难度：中等

已知a，b，cR，a²＋2b²＋3c²＝6，求a＋b＋c的最大值．

25. 难度：困难

如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝BD．

（1）若PM＝PA，求证：MN⊥AD；

（2）若二面角M－BD－A的大小为，求线段MN的长度．

26. 难度：中等

已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S₁，S₂，S₃，  ，集合S_k中所有元素的平均

值记为b_k．将所有b_k组成数组T：b₁，b₂，b₃，  ，数组T中所有数的平均值记为m(T)．

（1）若S={1，2}，求m(T)；

（2）若S＝{a₁，a₂， ，a_n}（n∈N^*，n≥2），求m(T)．