2013-2014学年江苏省南通市高三年级第三次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则    ．

2. 难度：简单

已知复数满足（是虚数单位），则    ．

3. 难度：简单

袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为    ．

4. 难度：简单

平面截半径为2的球所得的截面圆的面积为，则球心到平面的距离为    ．

5. 难度：中等

如图所示的流程图，输出的值为3，则输入x的值为    ．

6. 难度：简单

一组数据的平均值是5，则此组数据的标准差是    ．

7. 难度：简单

在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程

为    ．

8. 难度：中等

已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是    ．

9. 难度：简单

已知正实数满足，则的最小值为    ．

10. 难度：中等

在直角三角形中，=90°，，．若点满足，则    ．

11. 难度：中等

已知函数的图象如图所示，则    ．

12. 难度：困难

在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是    ．

13. 难度：简单

设数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}为等比数列．若，，且，则

数列{b_n}的公比为    ．

14. 难度：困难

在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点

在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．

（1）求证：AB∥EF；

（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，．

（1）求的值；  

（2）求函数的值域．

17. 难度：简单

某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆

弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）

（1）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；

（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大．

18. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围．

19. 难度：压轴

已知函数在时取得极小值．

（1）求实数的值；

（2）是否存在区间，使得在该区间上的值域为？若存在，求出，的值；

若不存在，说明理由．

20. 难度：困难

各项均为正数的数列{a_n}中，设，，且，．

（1）设，证明数列{b_n}是等比数列；

（2）设，求集合．

21. 难度：中等

如图，圆的两弦和交于点，，交的延长线于点．求证：△∽△．

22. 难度：中等

若矩阵把直线变换为另一条直线，试求实数值．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线经过点P（0，1），曲线的方程为，若直线

与曲线相交于，两点，求的值．

24. 难度：困难

已知，，，．求证．

25. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知定点F（1，0），点在轴上运动，点在轴上，点

为平面内的动点，且满足，．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设点是直线：上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，切点分别为，，设切线，的斜率分别为，，直线的斜率为，求证：．

26. 难度：压轴

各项均为正数的数列对一切均满足．证明：

（1）；

（2）．