2013-2014学年江苏省南通市高三第二次调研测试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，则   ．

2. 难度：简单

某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为   ．

3. 难度：简单

复数（其中i为虚数单位）的模为   ．

4. 难度：简单

从编号为0，1，2， ，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为   ．

5. 难度：简单

根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为   ．

6. 难度：简单

若，则a的取值范围是   ．

7. 难度：中等

若函数为奇函数，其图象的一条切线方程为，则b的值为 ．

8. 难度：简单

设l，m表示直线，表示平面，m是内任意一条直线．则“”是“”成立的   条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）

9. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设是半圆：（）上一点，直线的倾斜角为45°，过点作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交半圆于点，则直线的方程是    ．

10. 难度：简单

在△ABC中，D是BC的中点，AD＝8，BC＝20，则的值为   ．

11. 难度：中等

设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列，且，，成等差数列，则的值是 ．

12. 难度：中等

设是函数的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为

  ．

13. 难度：中等

若不等式(mx－1)［3m ²－( x + 1)m－1］≥0对任意恒成立，则实数x的值为    ．

14. 难度：简单

设实数a，b，c满足a²＋b² ≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为   ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，已知．求：

（1）AB的值；（2）的值．

16. 难度：中等

在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD， PD＝AD，AB＝2DC，E是PB的中点．

求证：（1）CE∥平面PAD；

（2）平面PBC⊥平面PAB．

17. 难度：中等

为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中

释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为

若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之

和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．

（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?

（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．

18. 难度：压轴

在平面直角坐标系xOy中，设曲线C₁：所围成的封闭图形的面积为

，曲线C₁上的点到原点O的最短距离为．以曲线C₁与坐标轴的交点为顶点的椭圆记

为C₂．

（1）求椭圆C₂的标准方程；

（2）设AB是过椭圆C₂中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上的点（与O不重合）．

①若MO＝2OA，当点A在椭圆C₂上运动时，求点M的轨迹方程；

②若M是l与椭圆C₂的交点，求△AMB的面积的最小值．

19. 难度：压轴

设数列{a_n}的首项不为零，前n项和为S_n，且对任意的r，tN^*，都有．

（1）求数列{a_n}的通项公式（用a₁表示）；

（2）设a₁=1，b₁=3，，求证：数列为等比数列；

（3）在（2）的条件下，求．

20. 难度：困难

设函数，其图象与轴交于，两点，且x₁＜x₂．

（1）求的取值范围；

（2）证明：（为函数的导函数）；

（3）设点C在函数的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记，求

的值．

21. 难度：简单

如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP // AC，交AB于点E，交圆O

在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．

22. 难度：中等

已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，且M＝．求矩阵M．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设动点P，Q都在曲线C：（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ的中点M与定点A(1，0)间的距离为d，求d的取值范围．

24. 难度：简单

已知：R．

求证：．

25. 难度：压轴

在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，，点E是棱AB上一点．且．

（1）证明：；

（2）若二面角D₁—EC—D的大小为，求的值．

26. 难度：困难

设数列{a_n}共有n（）项，且，对每个i (1≤i≤，iN)，均有

．

（1）当时，写出满足条件的所有数列{a_n}（不必写出过程）；

（2）当时，求满足条件的数列{a_n}的个数．