2013-2014学年江苏省徐州市高三第三次质量检测理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，．若，则      ．

2. 难度：简单

已知复数（是虚数单位），则的虚部是      ．

3. 难度：简单

一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为      ．

4. 难度：简单

从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140)内的学生人数为      ．

5. 难度：简单

执行如图所示算法的伪代码，则输出的值为      ．

6. 难度：简单

已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为      ．

7. 难度：中等

已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为      ．

8. 难度：中等

在等比数列中，已知，．设为该数列的前项和，为数列的前项和．若，则实数的值为      ．

9. 难度：困难

已知实数,满足条件 则的最大值为      ．

10. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线与函数的图象所有交点的横坐标之和为      ．

11. 难度：中等

已知，是以原点为圆心的单位圆上的两点，（为钝角）．若，则的值为      ．

12. 难度：中等

已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是      ．

13. 难度：简单

如图，在△中，已知，，，，，则      ．

14. 难度：困难

已知函数．若存在实数，，使得的解集恰为，则的取值范围是      ．

二、解答题

15. 难度：简单

在△中，已知，向量，，且．

（1）求的值；

（2）若点在边上，且，，求△的面积．

16. 难度：简单

如图，在五面体中，已知平面，，，，．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

17. 难度：困难

根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率与日产量(件)之间近似地满足关系式(日产品废品率)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额）

（1）将该车间日利润(千元)表示为日产量(件)的函数；

（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？

18. 难度：压轴

如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．

（1）求椭圆及圆的方程；

（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．

（ⅰ）求的最大值；

（ⅱ）试问：..，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

19. 难度：困难

已知数列，满足，，，．

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由．

20. 难度：压轴

已知函数．

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）当时，求函数在区间上的最小值；

（3）记函数图象为曲线，设点，是曲线上不同的两点，点为线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．试问：曲线在点处的切线是否平行于直线？并说明理由．

21. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．

22. 难度：中等

已知矩阵（，为实数）．若矩阵属于特征值2，3的一个特征向量分别为，，求矩阵的逆矩阵．

23. 难度：中等

在极坐标系中，已知圆的圆心为，半径为，点为圆上异于极点的动点，求弦中点的轨迹的极坐标方程．

24. 难度：压轴

已知，，，且．求证：．

25. 难度：困难

如图，在直三棱柱中，已知，，．

（1）求异面直线与夹角的余弦值；

（2）求二面角平面角的余弦值．

26. 难度：困难

在数列中，已知，，(，)．

（1）当，时，分别求的值，判断是否为定值，并给出证明；

（2）求出所有的正整数，使得为完全平方数．