2013-2014学年江苏省高三下学期4月周练文科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知复数，则z的虚部为      ．

2. 难度：简单

为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是         .

3. 难度：简单

如图是一个算法的伪代码，输出结果是      ．

4. 难度：中等

已知函数．在区间上随机取一，则使得的概率为        ．

5. 难度：简单

若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是       ．

6. 难度：中等

若直线是曲线的切线，则实数的值为      ．

7. 难度：中等

将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为      ．

8. 难度：简单

已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题正确的序号是    ．

①若，，则；   ②若，，则；

③若，，则；    ④若，，则．

9. 难度：中等

若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为     

10. 难度：中等

若为正实数，则      ．

11. 难度：中等

已知为不共线的向量，设条件M： ；条件N：对一切，不等式恒成立．则M是N的   条件．

12. 难度：中等

已知，，，则的最小值为         ．

13. 难度：中等

对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则      ．

二、解答题

14. 难度：中等

已知函数．

（1）设，且，求的值；

（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．

15. 难度：困难

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．

（1）求证：AC⊥DE；

（2）求四棱锥P－ABCD的体积．

16. 难度：压轴

在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、．设直线的倾斜角的正弦值为，圆与以线段为直径的圆关于直线对称．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；

（3）若圆的面积为，求圆的方程．

17. 难度：困难

一个如图所示的不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米（顶点至两端点所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形．

（1）若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值；

（2）若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值．

18. 难度：压轴

已知数列，满足，，，数列的前项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：；

（3）求证：当时，．

19. 难度：压轴

已知函数，，其中m∈R．

（1）若0<m≤2，试判断函数f (x)=f₁ (x)+f₂ (x)的单调性，并证明你的结论；

（2）设函数 若对任意大于等于2的实数x₁，总存在唯一的小于2的实数x₂，使得g (x₁) = g (x₂) 成立，试确定实数m的取值范围．