2013-2014学年江苏省高三下学期4月周练理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知复数，则z的虚部为      ．

2. 难度：简单

为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是         .

3. 难度：简单

如图是一个算法的伪代码，输出结果是      ．

4. 难度：简单

已知函数．在区间上随机取一，则使得的概率为        ．

5. 难度：简单

若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是       ．

6. 难度：简单

若直线是曲线的切线，则实数的值为      ．

7. 难度：简单

将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为      ．

8. 难度：简单

已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题正确的序号是    ．

①若，，则；   ②若，，则；

③若，，则；    ④若，，则．

9. 难度：简单

若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为     

10. 难度：简单

若为正实数，则      ．

11. 难度：中等

已知为不共线的向量，设条件M： ；条件N：对一切，不等式恒成立．则M是N的   条件．

12. 难度：简单

已知，，，则的最小值为         ．

13. 难度：困难

对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则      ．

二、解答题

14. 难度：困难

已知函数．

（1）设，且，求的值；

（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．

15. 难度：简单

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．

（1）求证：AC⊥DE；

（2）求四棱锥P－ABCD的体积．

16. 难度：简单

在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、．设直线的倾斜角的正弦值为，圆与以线段为直径的圆关于直线对称．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；

（3）若圆的面积为，求圆的方程．

17. 难度：简单

一个如图所示的不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米（顶点至两端点所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形．

（1）若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值；

（2）若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值．

18. 难度：压轴

已知数列，满足，，，数列的前项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：；

（3）求证：当时，．

19. 难度：压轴

已知函数，，其中m∈R．

（1）若0<m≤2，试判断函数f (x)=f₁ (x)+f₂ (x)的单调性，并证明你的结论；

（2）设函数 若对任意大于等于2的实数x₁，总存在唯一的小于2的实数x₂，使得g (x₁) = g (x₂) 成立，试确定实数m的取值范围．

20. 难度：简单

已知矩阵，点，．求线段在矩阵对应的变换作用下得到线段的长度．

21. 难度：简单

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以直角坐标系的点为极点，轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得直线的极坐标方程为．求直线与曲线交点的极坐标．

22. 难度：困难

如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形， ，，，且平面平面．

(1)求与平面所成角的正弦值；

(2)线段上是否存在点，使平面平面？

证明你的结论．

23. 难度：困难

对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体 和(是给定的正整数，且)，再从每个子总体中各随机抽取个元素组成样本．用表示元素和同时出现在样本中的概率．

(1)求的表达式(用表示)；

(2)求所有的和．