2013-2014学年江苏省淮安市高三Ⅲ级部决战四统测三数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则         .

2. 难度：简单

复数(是虚数单位)的虚部为           ．

3. 难度：中等

抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：

城市	空气质量指数(AQI)
第1天	第2天	第3天	第4天	第5天
甲	109	111	132	118	110
乙	110	111	115	132	112

则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为        （填甲或乙）．

4. 难度：简单

抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是          ．

5. 难度：简单

如图是计算的值的一个流程图，则常数a的最大值是       ．

6. 难度：简单

投掷两颗骰子得到其向上的点数分别为，设，则满足的概率为         ．

7. 难度：简单

设，且．则的值为     ．

8. 难度：简单

如果一个正三棱锥的底面边长为6，且侧棱长为，那么这个三棱锥的体积是 　 .

9. 难度：中等

已知不等式组表示的平面区域的面积为，若点，则的最大值为　　　　　.

10. 难度：中等

若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则的取值范围为         .

11. 难度：中等

设是外接圆的圆心，，且，，，则   .

12. 难度：简单

在平面直角坐标系中，若符合点A（1，2），B（m，1）到直线l的距离分别为1，2的直线有且仅有2条，则实数m的取值范围是　  　．

13. 难度：中等

设x₁、x₂ 是函数的两个极值点，且 则b的最大值为_________．

14. 难度：困难

已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为 　　　　　  ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数（，是实数常数）的图像上的一个最高点，与该最高点最近的一个最低点是，

(1)求函数的解析式及其单调增区间；

(2)在锐角三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，角A的取值范围是区间M，当时，试求函数的取值范围.

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．

（1）求证：MQ∥平面PAB；

（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．

17. 难度：中等

如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60^o(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC＝4km．D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD＝x(km)，点D对跑道AB的视角为 ．

（1）将tan 表示为x的函数；

（2）求点D的位置，使 取得最大值．

18. 难度：困难

已知椭圆的左右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形是边长为2的正方形.

(1)求椭圆的方程;

(2)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点.证明:为定值;

(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

19. 难度：困难

已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，  ．

（1）证明：数列（）是常数数列；

（2）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；

（3）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增

20. 难度：困难

已知实数，函数。

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；

（3）若当时，函数图象上的点均在不等式，所表示的平面区域内，求实数 的取值范围。