2013-2014学年江苏省淮安市高三5月信息卷理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，则Z=      ．

2. 难度：简单

函数的最小正周期为      ．

3. 难度：简单

已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则＝      ．

4. 难度：简单

在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为2的一点到焦点的距离为3，则抛物线的焦点坐标为      ．

5. 难度：简单

在如图所示的算法流程图中，若输入m＝4，n＝3，则输出的a＝      ．

6. 难度：简单

在一个样本的频率分布直方图中，共有5个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他4个小矩形的面积和的，且中间一组的频数为25，则样本容量为      ．

7. 难度：简单

棱长为的正四面体的外接球半径为      ．

8. 难度：简单

若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为  ．

9. 难度：简单

已知集合，则从中任选一个元素满足的概率为      ．

10. 难度：中等

已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为      ．

11. 难度：简单

已知函数|的定义域和值域都是，则＝      ．

12. 难度：中等

在中，，，，若点满足，且，则＝      ．

13. 难度：简单

已知函数，.若存在使得，则实数的取值范围是      ．

14. 难度：困难

已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足．若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值为      ．

二、解答题

15. 难度：简单

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．

（1）求证：；

（2）若，且，求的值．

16. 难度：简单

在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AA₁，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且．

（1）求证：EF∥平面BDC₁；

（2）求证：平面．

17. 难度：困难

某小区想利用一矩形空地建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一直线交于，从而得到五边形的市民健身广场，设．

（1）将五边形的面积表示为的函数；

（2）当为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，且经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2） 以椭圆的长轴为直径作圆，设为圆上不在坐标轴上的任意一点，为轴上一点，过圆心作直线的垂线交椭圆右准线于点．问：直线能否与圆总相切，如果能，求出点的坐标；如果不能，说明理由．

19. 难度：困难

如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．

（1）若某4阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项；

（2）若某11阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式；

（3）若为n阶“归化数列”，求证：．

20. 难度：困难

已知函数（R），为其导函数，且时有极小值．

（1）求的单调递减区间；

（2）若，，当时，对于任意x，和的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；

（3）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值．

21. 难度：中等

如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是与⊙O的交点．若，，求证：．

22. 难度：中等

已知矩阵，求点在矩阵对应的变换作用下得到的点坐标．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（t是参数）， 以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，且直线与圆C相切，求实数m的值．

24. 难度：中等

已知均为正数，证明：．

25. 难度：中等

某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：

奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．

（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；

（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望．

26. 难度：困难

（1）已知，求证：；

（2）已知，且，

求证：．