2013-2014学年江苏省苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，若，则      ．

2. 难度：简单

若复数z =（为虚数单位），则|z|=      ．

3. 难度：简单

已知双曲线的离心率为，则实数m的值为      ．

4. 难度：简单

一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：，2；，3；，4；，5；，4；，2．则样本在上的频率是    ．

5. 难度：简单

执行如图所示的算法流程图，则最后输出的等于      ．

6. 难度：简单

设函数，若，则的值为      ．

7. 难度：中等

四棱锥P  ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA=4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为      ．

8. 难度：简单

从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为      ．

9. 难度：中等

已知，，则的值为      ．

10. 难度：中等

设等差数列的前项和为，若，，，则正整数=       ．

11. 难度：中等

已知正数满足，则的最小值为      ．

12. 难度：中等

如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为       ．

13. 难度：中等

已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为      ．

14. 难度：困难

在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为      ．

二、解答题

15. 难度：困难

设函数．

（1）求的最小正周期和值域；

（2）在锐角△中，角的对边分别为，若且，，求和．

16. 难度：困难

如图，在三棱柱中，侧面为菱形， 且，，是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求证：∥平面．

17. 难度：压轴

一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m³），表面积为S（单位：m²）．

（1）求V关于θ的函数表达式；

（2）求的值，使体积V最大；

（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．

18. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求点C的坐标；

（3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．

19. 难度：困难

设各项均为正数的数列的前n项和为S_n,已知，且对一切都成立．

（1）若λ=1，求数列的通项公式；

（2）求λ的值，使数列是等差数列．

20. 难度：困难

已知函数，其中m，a均为实数．

（1）求的极值；

（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；

（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，求的取值范围．

21. 难度：中等

如图，⊙为四边形的外接圆，且，是延长线上一点，直线与圆相切．

求证：．

22. 难度：简单

已知矩阵，，计算．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：

（1）圆的直角坐标方程；

（2）圆的极坐标方程．

24. 难度：中等

已知函数，若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．

25. 难度：中等

甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．

（1）求甲同学至少有4次投中的概率；

（2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．

26. 难度：困难

设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，．

（1）证明：当，时，；

（2）记，求的值．