2013-2014学年河北省唐山市高三年级第三次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合，，则（     ）

A．     B．      C．       D．

2. 难度：简单

若复数z满足，则=（    ）

A．     B．     C．     D．

3. 难度：简单

已知，，，则（     ）

A．      B．      C．     D．

4. 难度：简单

在等比数列中，，，则（    ）

A．      B．      C．8      D．4

5. 难度：困难

函数的一段大致图象是（    ）

6. 难度：困难

椭圆的左、右焦点为，过作直线交C于A，B两点，若是等腰直角三角形，且，则椭圆C的离心率为（    ）

A．   B．   C．   D．

7. 难度：中等

执行左下面的程序框图，如果输入的依次为3,5,3,5,4,4,3,4,4，则输出的S为（    ）

A．      B．4       C．      D．

8. 难度：中等

右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（    ）

A．1    B．   C．   D．

9. 难度：困难

三棱锥的四个顶点都在球面上，SA是球的直径，，，则该球的表面积为（    ）

A．    B．    C．   D．

10. 难度：中等

中，D是BC中点，，，则等于（    ）

A．   B．  C．  D．

11. 难度：简单

若，且，则（     ）

A．0    B．    C．1    D．2

12. 难度：中等

设数列满足，，，则数列的前n项和可以表示为（   ）

A．   B．    C．   D．

二、填空题

13. 难度：简单

曲线在处的切线方程为          .

14. 难度：中等

以双曲线的上焦点为圆心，与该双曲线的渐近线相切的圆的方程为         .

15. 难度：中等

观察等式：，，.照此规律，对于一般的角，有等式            .

16. 难度：简单

函数的最大值为            .

三、解答题

17. 难度：中等

如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，，，.

（1）当时，求的大小；

（2）求的面积S的最小值及使得S取最小值时的值.

18. 难度：困难

在斜三棱柱中，平面平面ABC，，，.

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

商场销售的某种饮品每件售价为36元，成本为20元.对该饮品进行促销：顾客每购买一件，当即连续转动三次如图所示转盘，每次停止后指针向一个数字，若三次指向同一个数字，获一等奖；若三次指向的数字是连号（不考虑顺序），获二等奖；其他情况无奖.

（1）求一顾客一次购买两件该饮品，至少有一件获得奖励的概率；

（2）若奖励为返还现金，一等奖奖金数是二等奖的2倍，统计表明：每天的销售y（件）与一等奖的奖金额x（元）的关系式为，问x设定为多少最佳？并说明理由.

20. 难度：压轴

过抛物线C：上的点M分别向C的准线和x轴作垂线，两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形，点M在第一象限.

（1）求抛物线C的方程及点M的坐标；

（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交于A，B两点，如果点M在直线AB的上方，求面积的最大值.

21. 难度：压轴

已知函数，.

（1）求函数的最小值；

（2）若，证明：当时，.

22. 难度：中等

如图，四边形ABCD内接于圆，BD是圆的直径，于点E，DA平分.

（1）证明：AE是圆的切线；

（2）如果，，求CD.

23. 难度：困难

已知曲线的直角坐标方程为. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. P是曲线上一点，，，将点P绕点O逆时针旋转角后得到点Q，，点M的轨迹是曲线.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）求的取值范围.

24. 难度：困难

设不等式的解集为M，.

（1）证明：；

（2）比较与的大小，并说明理由.