2013-2014学年河北省石家庄市毕业班第一次模拟考试数学理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：困难

已知i为虚数单位，a∈R，若(a-1)(a+1+i)=a²-1+（a-1）i是纯虚数，则a的值为（   ）

A.-1或1              B.1          C.-1      D.3

2. 难度：简单

若p：,q:f(x)=sin()()是偶函数，则p是q的（     ）

A.充要条件            B.充分不必要条件

C.必要不充分条件      D.既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

已知a=3,b=log,c=log,则（   ）

A. a>b>c             B.b>c>a            C. c>b>ac          D. b>a >c

4. 难度：简单

登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：

气温x（°C）	18	13	10	-1
山高y（km）	24	34	38	64

由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（   ）

A.-10           B.-8          C.-6          D.-6

5. 难度：简单

已知等差数列{a_n}，且3（a₃+a₅）+2(a₇+a₁₀+a₁₃)=48,则数列{a_n}的前13项之和为（   ）

A.24           B.39           C.104           D.52

6. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为（   ）

A.1             B.2        C.4             D.3

7. 难度：简单

曲线f（x）=（其中e为自然对数的底数）在点（0,1）处的切线与直线y=－x+3和x轴所围成的区域为D（包含边界），点P（x，y）为区域D内的动点，则z=x-3y的最大值为（     ）

A.3            B.4              C.-1              D.2

8. 难度：简单

三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（      ）

A.           B.              C.          D.

9. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA=acosC，则sinA+sinB的最大值是（   ）

A.1              B.             C.              D.3

10. 难度：中等

双曲线（a>0,b>0）的左右焦点分别为F₁，F₂，渐近线分别为l₁，l₂，点P在第一象限内且在l₁上，若l₂⊥PF₁，l₂∥PF₂，则该双曲线的离心率为（     ）

A.                B. 2               C.                  D.

11. 难度：困难

设直线l与曲线f（x）=x³+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且︱AB︱=︱BC︱=,则直线l的方程为（     ）

A.y=5x+1         B.y=4x+1         C.y=3x+1         D.y=x+1

12. 难度：中等

设max{f(x)，g(x)}=,若函数n(x)=x²+px+q(p，q∈R)的图象经过不同的两点（，0）、（，0），且存在整数n使得n<<<n+1成立，则（     ）

A.max{n(n),n(n+1)}>1                    B.max{n(n),n(n+1)}<1

C.max{n(n),n(n+1)}>                   D.max{n(n),n(n+1)}>

二、填空题

13. 难度：简单

=         .

14. 难度：困难

在三棱锥P-ABC中侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3,4,5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为           .

15. 难度：简单

已知函数f(x)=cos(x),a为抛掷一颗骰子得到的点数，则函数f（x）在[0,4]上零点的个数小于5或大于6的概率为         .

16. 难度：中等

若实数a，b，c，d满足︱b+a²-3lna︱+（c-d+2）²=0,则（a-c）²+（b-d）²的最小值为        .

三、解答题

17. 难度：压轴

已知数列{an}的各项均为正数的等比数列，且a1a2=2，a3a4=32，

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{b_n}满足（n∈N^*），求设数列{b_n}的前n项和T­_n.

18. 难度：中等

如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，．

（1）证明：平面平面；

（2 ）若点为的中点，求出二面角的余弦值．

（1）证明：平面平面；

（2）若点为的中点，求出二面角的余弦值．

19. 难度：中等

现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，（0<t<2），且三个人是否应聘成功是相互独立的.

（1）若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；

（2）记应聘成功的人数为，若当且仅当为=2时概率最大，求E（）的取值范围.

20. 难度：困难

椭圆c：（a>b>0）的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，点P是直线x=1上的动点，直线PA与椭圆的另一个交点为M，直线PB与椭圆的另一个交点为N，求证：直线MN经过一定点.

21. 难度：困难

已知函数f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax²-x（a∈R）,g（x）=ln（x+1）.

(1)若a=0，F(x)=f(x)-g(x),求函数F（x）的极值点及相应的极值.

(2)若对于任意x₂>0，存在x₁满足x₁<x₂且g(x₁)=f(x₂)成立，求a的取值范围.

22. 难度：中等

已知和相交于A、B两点，过A点作切线交于点E，连接EB并延长交于点C，直线CA交于点D，

  

（1）当点D与点A不重合时（如图1），证明：ED²=EB·EC;

（2）当点D与点A重合时（如图2），若BC=2，BE=6，求的直径长.

23. 难度：困难

在直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为：（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C₂是极坐标方程为：，

(1)求曲线C₂的直角坐标方程；

(2)若P，Q分别是曲线C₁和C₂上的任意一点，求的最小值.

24. 难度：困难

已知f(x)=.

(1)当a=1时，求f(x)≥x的解集；

（2）若不存在实数x，使f(x)<3成立，求a的取值范围.