2013-2014学年河北省高三第一次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集为实数集R，,则图中阴影部分表示的集合是(  )

A．      B．     C．       D．

2. 难度：简单

设是虚数单位，则“”是“为纯虚数”的（   ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件           D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是（   ）

A．2011    B．2012     C．4022     D．4023

4. 难度：中等

在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续

7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（   ）

①平均数；

②标准差；

③平均数且标准差；

④平均数且极差小于或等于2；

⑤众数等于1且极差小于或等于1。

A．①②         B．③④         C．③④⑤        D．④⑤

5. 难度：中等

在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，对角线B₁D与平面A₁BC₁相交于点E，则点E为△A₁BC₁的（  ）

A．垂心       B．内心        C．外心       D．重心

6. 难度：中等

设满足约束条件若目标函数的最大值是12，则的最小值是（   ）

A．      B．    C．     D．

7. 难度：中等

已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（   ）       

A．16        B．4     C．8       D．2

8. 难度：中等

已知函数图像的一部分（如图所示），则与的值分别为（    ）

A．  B．   C．   D．

9. 难度：简单

双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（　　）

A．         B．          C．         D．

10. 难度：困难

已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式

恒成立，则不等式的解集为(    )

A．     B．　　　C．　　D．

11. 难度：中等

已知圆的方程，若抛物线过点A(0， 1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是(　　)

A．

B．

C．

D．

12. 难度：困难

设是定义在上的函数，若 ，且对任意，满足，，则=（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题

13. 难度：中等

在区间[ 6，6]，内任取一个元素x_O ，若抛物线y=x²在x=x_o处的切线的倾角为，则的概率为                ．

14. 难度：简单

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是          ．

15. 难度：中等

在中，是边中点，角，，的对边分别是，，，若，则的形状为        ．

16. 难度：困难

在轴的正方向上，从左向右依次取点列 ，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使（）都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是       ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△中，是角对应的边，向量,，且．

（1）求角；

（2）函数的相邻两个极值的横坐标分别为、，求的单调递减区间．

18. 难度：困难

已知四边形ABCD满足，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折成，F为的中点．

（1）求四棱锥的体积；

（2）证明：；

（3）求面所成锐二面角的余弦值．

19. 难度：中等

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．

（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

20. 难度：压轴

已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线．求直线是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。

21. 难度：压轴

已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)

（1）求的解析式;

（2）设，求证：当时，且，恒成立；

（3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

22. 难度：中等

已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q．

（1）求证：

（2）若AQ=2AP，AB=,BP=2，求QD．

23. 难度：困难

在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为   （a＞b＞0，为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C₁上的点M 对应的参数= ，与曲线C₂交于点D

（1）求曲线C₁，C₂的方程；

（2）A（ρ₁，θ），Β（ρ₂，θ+）是曲线C₁上的两点，求 的值。

24. 难度：中等

已知关于x的不等式（其中）．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式有解，求实数的取值范围