2013-2014学年湖北省七市（州）高三年级联合考试文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合M={x|x²－2x－3<0}和N={x|x>1}的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合为（    ）

A．{x|x>1}        B．{x|x<3}

C．{x|1<x<3}     D．{x|－1<x<1}

2. 难度：简单

已知命题p：∃x∈R，cosx＝；命题q：∀x∈R，x²－x＋1>0.则下列结论正确的是（   ）

A．命题是假命题                 B．命题是真命题

C．命题是真命题           D．命题是真命题

3. 难度：中等

从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ）

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B．“至少有一个黑球”与“都是红球”

C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

4. 难度：简单

为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（     ）

A．线性相关关系较强，b的值为1．25

B．线性相关关系较强，b的值为O．83

C．线性相关关系较强，b的值为-0．87

D．线性相关关系太弱，无研究价值

5. 难度：中等

莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把个面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的份为（   ）

A．           B．            C．             D．

6. 难度：简单

将函数图像上所有点向左平移个单位，再将各点横坐标缩短为原来的倍，得到函数f(x)，则（    ）

A．f(x)在单调递减             B．f(x)在单调递减

C．f(x)在单调递增             D．f(x)在单调递增

7. 难度：中等

角顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，，点在的终边上，点，则与夹角余弦值为(     )

A．          B．          C．或      D．或

8. 难度：中等

已知函数与的图像在上不间断，由下表知方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是（  ）

x	－1	0	1	2	3
f(x)	－0.677	3.011	5.432	5.980	7.651
g(x)	－0.530	3.451	4.890	5.241	6.892

A．(－1,0)           B．(0,1)            C．(1,2)            D．(2,3)

9. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的左支没有公共点,则此双曲线离心率的取值范围是（   ）

A．       B．       C．    D．

10. 难度：压轴

德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数

被称为狄利克雷函数，其中为实数集,为有理数集，则关于函数有如下四个命题：

①；                  ②函数是偶函数；

③任取一个不为零的有理数,对任意的恒成立；

④存在三个点，使得为等边三角形.

其中真命题的个数是（   ）

A．1               B．2              C．3               D．4

二、填空题

11. 难度：简单

设复数满足,其中为虚数单位，则         ．

12. 难度：中等

若，满足约束条件，则的最大值为         ．

13. 难度：中等

某程序框图如图所示，判断框内为“？”，为正整数，若输出的，则判断框内的________；

14. 难度：中等

某个几何体的三视图如图所示，（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的表面积为            ．

15. 难度：简单

圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是             ．

16. 难度：中等

一环保部门对某处的环境状况进行了实地测量，据测定，该处的污染指数等于附近污染源的污染强度与该处到污染源的距离之比．已知相距30km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为1和4，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．现拟在它们之间的连线上建一个公园，为使两化工厂对其污染指数最小，则该公园应建在距A化工厂          公里处．

17. 难度：中等

将长度为的线段分成段，每段长度均为正整数，并要求这段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当时，只可以分为长度分别为1,1,2的三段，此时的最大值为3；当时，可以分为长度分别为1,2,4的三段或长度分别为1,1,2,3的四段，此时的最大值为4．则：

（1）当时，的最大值为________；

（2）当时，的最大值为________．

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量，设函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，，求的值．

19. 难度：中等

如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB=1，，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(1)若，求证：；

(2)若二面角的大小为，则CE为何值时，三棱锥的体积为.

20. 难度：中等

小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

（1）根据图中的数据信息，求出众数和中位数（精确到整数分钟）；

（2）小明的父亲上班离家的时间在上午之间，而送报人每天在时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件）的概率．

21. 难度：压轴

已知椭圆的离心率为， 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，过点作直线(不与轴重合)交椭圆于、两点，连结、分别交直线于、两点，试探究直线、的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．

22. 难度：压轴

已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若在上恒成立，求所有实数的值；

（3）对任意的，证明：