2013-2014学年湖北省七市（州）高三年级联合考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知全集U=R，集合，B=，则A∪B=（    ）

A．    B．　　　　C．　　　　D．

2. 难度：中等

下列说法错误的是（    ）

A．命题“若x²-5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x²-5x+6≠0”

B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假

C．若x，y∈R，则“x=y”是的充要条件

D．若命题p：，则

3. 难度：简单

为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（     ）

A．线性相关关系较强，b的值为1．25

B．线性相关关系较强，b的值为O．83

C．线性相关关系较强，b的值为-0．87

D．线性相关关系太弱，无研究价值

4. 难度：中等

某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的表面积为（     ）

A.           B.          C.         D.

5. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，则输出结果的值为（     ）

A.                B.               C.             D.

6. 难度：简单

已知函数与的图像在上不间断，由下表知方程有实数解的区间是（  ） 

	－1	0	1	2	3
	－0.677	3.011	5.432	5.980	7.651
	－0.530	3.451	4.890	5.241	6.892

A.            B.             C.             D.

7. 难度：中等

已知为坐标原点，两点的坐标均满足不等式组设与的夹角为

，则的最大值为 （     ）

A.                   B.                  C.                  D.

8. 难度：中等

设两条直线的方程分别为，已知是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（    ）

A.               B.             C.              D.

9. 难度：困难

如果对定义在上的函数，对任意，都有则称函数为“函数”.给出下列函数:

①；②；③；④.

其中函数是“函数”的个数为（   ）

A.                    B.                   C.                 D.

10. 难度：中等

已知双曲线的两个焦点为、，其中一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且满足（其中为坐标原点），若、、成等比数列，则双曲线的方程为（    ）

A.          B.         C.          D.

二、填空题

11. 难度：简单

若为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是，复平面内点表示复数，则复数的共轭复数是________．

12. 难度：中等

设，则___  ____．

13. 难度：中等

物体以速度（的单位：，的单位：）在一直线上运动，在此直线上

与物体出发的同时，物体在物体的正前方处以（的单位：，的单位：）的速度与同向运动，则两物体相遇时物体运动的距离为________．

14. 难度：中等

将长度为的线段分成段，每段长度均为正整数，并要求这段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当时，只可以分为长度分别为1,1,2的三段，此时的最大值为3；当时，可以分为长度分别为1,2,4的三段或长度分别为1,1,2,3的四段，此时的最大值为4．则：

（1）当时，的最大值为________；（2）当时，的最大值为________．

15. 难度：中等

如图，已知是⊙的切线，是切点，直线交⊙于两点，是的中点，连接并延长交⊙于点，若，则       ．

16. 难度：中等

在直角坐标平面内，以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数），则点到曲线上的点的距离的最小值为          ．

三、解答题

17. 难度：困难

已知向量，设函数

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，，求的值．

18. 难度：中等

已知数列是等差数列，是等比数列，其中，，且为、的等差中项，为、的等差中项．

（1）求数列与的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，为的中点．

（1）设与平面所成的角为，二面角的大小为，求证：；

（2）在线段上是否存在一点（与两点不重合），使得∥平面? 若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

（1）根据图中的数据信息，写出众数；

（2）小明的父亲上班离家的时间在上午之间，而送报人每天在时刻前后

半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等）．

①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件）的概率；

②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数的数学期望．

21. 难度：压轴

已知椭圆的离心率为， 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连结、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

22. 难度：困难

已知，．

（1）设，求函数的图像在处的切线方程；

（2）求证：对任意的恒成立；

（3）若，且，求证：．