2013-2014学年湖北省黄冈市高三5月适应性考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数，则复数(     )

A.1          B.-1          C.2          D.-2

2. 难度：中等

设全集U=R，A={x|x(x-2)<0}，B={x|y=ln(1-x)<0}，则图中阴影部分表示的集合为(     )

A．{x|0<x≤1}             B．{x|1≤x<2}

C．{x|x≥1}               D．{x|x≤1}

3. 难度：中等

已知命题p：“x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q:“x∈R使x²+2ax+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(     )

A.                B.

C.         D.

4. 难度：中等

函数y=sin2x+acos2x的图象左移π个单位后所得函数的图象关于直线对称，则a=(     )

A.1             B.            C.-1          D.-

5. 难度：中等

在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x²+y²=1内的概率为(     )

A．          B．          C．          D．

6. 难度：中等

非零向量与满足且，则⊿ABC为(     )

A.三边均不等的三角形            B.直角三角形

C.等边三角形                    D.等腰非等边三角形

7. 难度：中等

甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有(     )种

A.30       B.36       C.60       D.72

8. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是(    )

A.             B.          C.            D.

9. 难度：困难

过双曲线(a>0，b>0)的左焦点F(-c，0)作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交抛物线y²=4cx于点P，O为原点，若|FE|=|EP|，则双曲线离心率为(     )

A．        B．      C．        D．

10. 难度：困难

函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图象关于直线对称。据此可推测对任意的非0实数a、b、c、m、n、g关于x的方程m[f(x)]²+n f(x)+g=0的解集不可能是(     )

A.{1,3}        B.{2,4}        C.{1,2,3,4}        D.{1,2,4,8}

二、填空题

11. 难度：中等

从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示。若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为       .

12. 难度：中等

已知集合A={x|x=2k，k∈N*}，如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x=     .

13. 难度：中等

设a、b、c为正数，a+b+9c²=1，则的最大值是            ，

此时a+b+c=           .

14. 难度：中等

1955年，印度数学家卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了对四位自然数的一种交换：任给出四位数，用的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数n(即将的四个数字由小到大排列，规定反序后若左边数字有0，则将0去掉运算，比如0001，计算时按1计算)，得出数，然后继续对重复上述变换，得数，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行k次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t(这个数称为Kaprekar变换的核).通过研究10进制四位数2014可得Kaprekar变换的核为              .

15. 难度：中等

以Rt⊿ABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=6，AB=8，则OE=       .

16. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，则点A(2，)到这条直线的距离为          .

三、解答题

17. 难度：困难

设函数.

（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期。

（2）设A、B、C为⊿ABC的三个内角，若，，且C为锐角，求.

18. 难度：困难

函数f(x)对任意x∈R都有.

（1）求和(n∈N*)的值；

（2）数列{a_n}满足：，求a_n；

（3）令，，，试比较T_n和S_n的大小。

19. 难度：困难

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁=a，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA₁中点.

（1）求证：CD⊥面ABB₁A₁；

（2）在侧棱BB₁上确定一点E，使得二面角E-A₁C₁-A的大小为.

20. 难度：中等

在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次。某同学在A处的命中率q₁为0.25，在B处的命中率为q₂，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

ξ	0	2	3	4	5
P	0.03	P1	P2	P3	P4

（1）求q₂的值；

（2）求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；

（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.

21. 难度：困难

已知P是圆M：x²+y²+4x+4-4m²=0(m>0且m≠2)上任意一点，点N的坐标为(2，0)，线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.

（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；

（2）当m=时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.

22. 难度：困难

已知f(x)=e^x-t(x+1).

（1）若f(x)≥0对一切正实数x恒成立，求t的取值范围；

（2）设，且A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)(x₁≠x₂)是曲线y=g(x)上任意两点，若对任意的t≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；

（3）求证：(n∈N*).